Question

Como resolver a integral:

Answer 1

$z = \sqrt{x} + 1 \\ x = {(z - 1)}^{2} \\ dx = 2(z - 1)dz \\ se \: x = 0 \: \: z = 1 \: se \: x = 1 \: z = 2$

$\int \frac{dx}{ {(1 + \sqrt{x} )}^{4} } = \int \frac{2(z - 1)dz}{ {z}^{4} } \\ = \int \: 2 {z}^{ - 4}(z - 1)dz$

$\int(2 {z}^{ - 3} - 2 {z}^{ - 4})dz \\ = - \frac{1}{ {z}^{2} } + \frac{2}{3 {z}^{3} }$

Substituindo os limites de integração temos

$- \frac{1}{ {2}^{2} } + \frac{2}{3. {2}^{3} } - ( - \frac{1}{ {1}^{2} } + \frac{2}{3. {1}^{3} } ) \\ = - \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + 1 - \frac{2}{3}$

$\frac{ - 3 + 1 + 12 - 8}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Espero ter ajudado bons estudos :)

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Fazendo 1 + √x = u ⇒ √x = u - 1

Quadrando, vem: (√x)² = (u - 1)² ⇒ x = (u - 1)²

Diferenciando: dx = 2(u - 1)du

p/ x = 0 ⇒ 1 + √0 = u ⇒ 1 + 0 = u ⇒ u = 1

p/x = 1 ⇒ 1 + √1 = u ⇒ 1 + 1 = u ⇒ u = 2

$\int\limits^1_0 {\frac{1}{(1+\sqrt{x})^4}}\,dx=\int\limits^2_1 {\frac{1}{u^4}}\,*2(u-1)du=2\int\limits^2_1 {u^{-4}(u-1)du} }\,=2\int\limits^2_1 {(u^{-3}-u^{-4})}\,du=2[\frac{u^{-2}}{-2}-\frac{u^{-3}}{-3}\left]\\}2}\atop {1}} \right.=2[-\frac{1}{2u^2}+\frac{1}{3u^3}\left\\]{{{2\atop {1}}\right.=-\frac{1}{u^2}+\frac{2}{3u^3}\left\\]{{{2} \atop {1}}\right. =-\frac{1}{2^2}+\frac{2}{3.2^3}-(\frac{-1}{1^2}+\frac{2}{3.1^3})=\frac{-1}{4}+\frac{1}{12}-(-1+\frac{2}{3})=\frac{-3+1+12-8}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$