Question

a soma dos cinquenta primeiros termos de uma PA na qual A6 + a45 = 160 é?​

Answer 1

Resposta:

$\large{\boxed{\boxed{ \mathsf{S_{50} = 4000}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Uma progressão aritmética de $n$ termos ,com$~(n \in \mathbb{N}^*)$, dada por $(a_1, a_2 , a_3 , a_4 , \dots , a_n)$ sendo $n$ um número par $(n = 2k; k \in \mathbb{N}: k \geqslant 2)$ ou ímpar $(n = 2k - 1; k \in \mathbb{N};k \geqslant 2)$ a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante, e é igual à soma dos termos extremos $a_1$ e $a_n$, matematicamente,

• Se $n$ for par

$\mathsf{S} = a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = a_{\frac{n}{2}} + a_{ \frac{n + 2}{2} }$

• Se $n$ por ímpar

$\mathsf{S} = a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = a_{\frac{n-1}{2}} + a_{ \frac{n + 3}{2} }$

Deste modo, a soma dos 50 primeiros termos de uma PA$(a_1, a_2 , a_3 , a_4 , \dots , a_{50})$, na qual $a_6 + a_{45} = 160$ será,

$\mathsf{S_n} = \dfrac{(a_1 + a_n)n}{2}$

$\mathsf{S_{50}} = \dfrac{(a_1 + a_{50})*50}{2}$

$\mathsf{S_{50}} = 25(a_1 + a_{50})$

Observando atentamente as observações indicadas acima pode-se concluir que,

$\green{a_1 + a_{50}} = a_2 + a_{49} = a_3 + a_{48} =$

$= a_4 + a_{47} = a_5 + a_{46} = \green{a_6+ a_{45}} = 160$

Deste modo,

$\mathsf{S_{50}} = 25(a_1 + a_{50})$

$\mathsf{S_{50}} = 25(a_6 + a_{45})$

$\mathsf{S_{50}} = 25(160)$

$\mathsf{S_{50}} = 4000$

Resposta: A soma dos cinquenta primeiros termos de uma PA na qual a₆ + a₄₅ = 160 é 4000.

Espero ter colaborado!)