Question

Considere uma casca esférica de raio R e densidade superficial de cargas elétricas
σ
. Obtenha o Potencial Elétrico desta casca, a uma distância r > R do centro da casca, em função da densidade superficial de cargas
σ
e da constante de Coulomb k.

Answer 1

Utilizando Lei de Gauss e definição de potencial eletrico, temos o resultado de:

$V=-\frac{k.\sigma.4\pi.R^2}{r}$

Explicação:

Primeiramente, sabemso que a carga total desta casca é a densidade vezes a sua área superficial:

$Q=\sigma.4\pi.R^2$

E pela lei de Gauss podemos encontrar o campo eletrico fora da casca por:

$\oint E.da=\frac{Q}{\epsilon_0}$

$E.A=\frac{\sigma.4\pi.R^2}{\epsilon_0}$

$E.4\pi.r^2=\frac{\sigma.4\pi.R^2}{\epsilon_0}$

$E=\frac{\sigma.R^2}{\epsilon_0.r^2}$

Tendo o campo eletríco do lado de fora, podemos encontrar o potencial eletrico pela definição:

$V=\int_{\infty}^{r}E.dl$

Então fazendo esta integral de caminho, onde o caminho que escolhemos é simplesmente o radial:

$V=\int_{\infty}^{r}E.dr$

$V=\int_{\infty}^{r}\frac{\sigma.R^2}{\epsilon_0.r^2}.dr$

$V=\frac{\sigma.R^2}{\epsilon_0}.\int_{\infty}^{r}\frac{1}{r^2}.dr$

$V=\frac{\sigma.R^2}{\epsilon_0}.[\frac{-1}{r}]_{\infty}^{r}$

$V=\frac{\sigma.R^2}{\epsilon_0}.[\frac{-1}{r}+\frac{1}{\infty}]$

$V=\frac{\sigma.R^2}{\epsilon_0}.[\frac{-1}{r}+0]$

$V=-\frac{\sigma.R^2}{\epsilon_0.r}$

Para encaixarmos a constante de coulomb k = 1/4πε basta multiplicarmos em cima e em baixo por 4π:

$V=-\frac{\sigma.R^2}{\epsilon_0.r}$

$V=-\frac{\sigma.4\pi.R^2}{4\pi.\epsilon_0.r}$

$V=-\frac{k.\sigma.4\pi.R^2}{r}$

E este é nosso potencial.

Answer 2

Resposta:

A resposta correta é:

V(r) =k σ 4πR

Explicação:

Retirado do Gabarito