Question

Dada a funçã f definida por f(x) = |x+2|.

a)f é derivável em x = -2?
b)Se não for derivável quais são seus limites laterais?

Assinale a alternativa que responde aos itens a) e b) corretamente.

Alternativa 1:
f é derivável em x=-2 e seus limites laterais são iguais a 1

Alternativa 2:
f é derivável em x=-2 e seus limites laterais são iguais a -1

Alternativa 3:
f não é derivável em x=-2 e seus limites laterais são 1 e -1

Alternativa 4:
f não é derivável em x=-2 e seus limites laterais são iguais a 1

Alternativa 5:
f não é derivável em x=-2 e seus limites laterais são iguais a -1

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$|x + 2| = f(u(x))$

Onde

$f = |u | \\ u = x + 2$

A derivada de uma função módulo é

$\frac{d}{du} = \frac{u}{ |u| }$

Logo, se tratando de uma função composta

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{dx} = \frac{x + 2}{ |x + 2| } \times 1 \\ = \frac{x + 2}{ |x + 2| }$

A) f não é derivável em -2, pois o denominador não pode ser 0.

B)

$lim_{x > { - 2}^{ - } }( \frac{x + 2}{ |x + 2| } ) = - 1$

quando x tende a -2 pela esquerda, o limite tende a -1, pois o numerador (x+2) será negativo, supondo: -2,00.....1 + 2 < 0, e o denominador sempre será positivo pois está em módulo.

$lim_{x > { - 2}^{ + } }( \frac{x + 2}{ |x + 2| } ) = 1$

quando x tende a -2 pela direita, o limite é 1 pois o numerador (x+2) será positivo, pois o x será um valor estritamente maior que -2, logo, supondo: -1,99999999.... + 2 > 0. Denominador sempre positivo.