Question

Qual é a área de um octógono regular cujo lado mede 1? Adote tg 67,5° = 2,41
Por favor me ajudem

Answer 1

A area de um polígono regular é dada pela expressao

A = (P.a)/2

onde

P é o perímetro do polígono

a é o apotema do polígono

Para esta questao precisamos calcular o valor do apotema.

De acordo com o 2º anexo podemos concluir que

X + X + X + X + X + X + X + X + X + X = 360

8X = 360

X = 45

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triangulo vale 180. Para o angulo Y do triangulo AOB, teremos

X + Y + Y = 180

X + 2Y = 180

45 + 2Y = 180

2Y = 180 - 45

2Y = 135

Y = 135/2

Y = 67,5

Para o valor de a podemos aplicar Trigonometria:

TG Y = a/AO'

onde

TG Y = TG 67,5 = 2,41

AO' = AB/2

AO' = L/2

AO' = 1/2

TG Y = a/AO'

2,41 = a/(1/2)

a = 2,41/2

a = 1,2

Para o perímetro....... Temos 8 lados e cada lado mede 1, logo

P = 8.L

P = 8.1

P = 8

Em posse dos valores de P e a, podemos encontrar a area:

A = (P.a)/2

A = 8 . (1,2)/2

A = 4,8 u.a.

Existe tambem uma formula geral para qualquer poligono regular.

$\large{\boldsymbol{A=\frac{n\cdot L}{4\cdot tg\left ( \frac{180}{n} \right )}}}$

onde

n = numero de lados

L = comprimento de um lado

$\large{\boldsymbol{A=\frac{8\cdot 1}{4\cdot tg\left ( \frac{180}{8} \right )}}}$

$\large{\boldsymbol{A=\frac{8}{4\cdot tg\left (22,5 \right )}}}$

Da teoria, a tangente de um ângulo agudo é igual ao inverso multiplicativo da tangente de seu complemento, ou seja

$\large{\boldsymbol{tg\alpha=\frac{1}{tg(90-\alpha )}}}$

$\large{\boldsymbol{tg67,5=\frac{1}{tg(90-67,5)}}}$

$\large{\boldsymbol{2,41=\frac{1}{tg(22,5)}}}$

$\large{\boldsymbol{tg(22,5)=\frac{1}{2,41}}}$

dai

$\large{\boldsymbol{A=\frac{8}{4\cdot \left (1/2,41 \right )}}}$

A = 4,8 u.a.

Ainda que nao seja necessario neste nosso problema, lembrar tambem que existe a expressao SEN α = COS(90 - α)