Question

Sejam A, B e C matrizes do mesmo tipo m×n talque A+B+C=0. Mostre que Span{A,B}=Span{A,C}

Answer 1

Podemos facilmente verificar esta igualdade de combinações lineares de matrizes.

Vamos primeiro explicitar o fato:

$A+B+C=0$

Da seguinte forma:

$B=-(A+C)$

Agora vamos montar o span{A,B} que são todas as combinações lineares geradas por A e B:

$span\{A,B\}=\{\alpha.A+\beta.B\}$

Onde α e β são números reais, ou seja, a combinação linear destes dois é qualquer matriz que pode ser escrita por esta soma de multiplicação por escalares quaisquer.

Agora vamos substituir B pelo fator do inicio:

$span\{A,B\}=\{\alpha.A+\beta.B\}$

$span\{A,B\}=\{\alpha.A-\beta.(A+C)\}$

$span\{A,B\}=\{\alpha.A-\beta.A-\beta.C)\}$

Colocando A em evidência:

$span\{A,B\}=\{(\alpha-\beta).A-\beta.C)\}$

Note que se α e β são números reais, então α - β também é um outro número real que chamarei de ω e -β também é um outro número real que chamarei de λ, então temos que:

$span\{A,B\}=\{\omega.A+\lambda.C)\}$

Assim note que o lado direito da igualdade é outra combinação linear, porém de A e C, logo este é o span de A e C:

$span\{A,B\}=\{\omega.A+\lambda.C)\}$

$span\{A,B\}=span\{A,C\}$