Question

O volume do sólido abaixo do plano z = 4 - x - y acima da região do plano xy delimitada por R: [0,2] x[0,1] é:
1/2
3

pi

1
5

Answer 1

Montando uma integral dupla de volume, temos que o volume dado por esta integral é de 5 unidades.

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão de integral dupla, pois queremos o volume (a integral abaixo da função dada), nos intervalos de x[0,2] e y: [0,1], então vamos montar nossa integral:

$V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} 4-x-y dxdy$

Então vamos integrar primeiro a parte em x:

$V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} 4-x-y dxdy$

$V=\int_{0}^{1}[ 4x-\frac{1}{2}x^2-yx ]_{0}^{2}dy$

$V=\int_{0}^{1}[ 4.2-\frac{1}{2}2^2-y.2 ]dy$

$V=\int_{0}^{1} 6-2y dy$

Agora vamos fazer a integral em y:

$V=\int_{0}^{1} 6-2y dy$

$V=[6y-y^2]_{0}^{1}$

$V=[6.1-1^2]$

$V=[6-1]$

$V=5$

Assim temos que o volume dado por esta integral é de 5 unidades.