Question

Considere um campo vetorial bold italic F open parentheses x comma y close parentheses equals f open parentheses x comma y close parentheses bold italic i plus g open parentheses x comma y close parentheses bold italic j que é o gradiente de uma alguma função escalar, definido sobre uma região aberta e conexa A com f e g funções contínuas em A. Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem.



I) O campo vetorial bold italic F open parentheses x comma y close parentheses equals f open parentheses x comma y close parentheses bold italic i plus g open parentheses x comma y close parentheses bold italic j é conservativo em A.

II) integral subscript C bold italic F times d bold italic r not equal to 0 para qualquer curva fechada C suave por partes contida na região a.

III) A integral integral subscript C bold italic F times d bold italic r independe do caminho de integração que liga dois pontos P e Q contidos na região A, qualquer que seja a curva C por partes.

Agora, assinale a alternativa correta.
Escolha uma:
a. As afirmações I, II e III são equivalentes.
b. Apenas as afirmativas I e III são equivalentes entre si.
c. Apenas as afirmativas II e III são equivalentes entre si.
d. Apenas as afirmativas I e II são equivalentes entre si. Incorreto
e. Não há relação de equivalência entre as afirmações.


Alguém sabe a resposta?

Answer 1

Analisando as afirmações com base em propriedades de campos vetoriais conservativos, temos que as únicas alternativas que estão relacionadas são a I) e a III). Letra b.

Explicação passo-a-passo:

Para explicar estas afirmações é melhor de trás para frente, falando primeiro sobre a afirmação III), depois a II) e por fim a I):

III):

Uma integral de linha só independe do caminho se ela puder ser usada no teorema fundamental das integrais de linha, que nos diz que:

$\int_{C}F\cdot dr=U(P)-U(Q)$

Onde U é a função potencial de F, tal que:

$F=\nabla U$

E se ela puder ser escrita desta forma, então a função F é conservativa.

Logo III), só está certo se e somente se I) estiver correto.

II):

Note que se uma curva for fechada, o ponto final e o ponto inicial P e Q da curva são os mesmo, então se F fosse uma campo conservativo, poderiamos usar o teorema das integrais de linha:

$\int_{C}F\cdot dr=U(P)-U(Q)=U(P)-U(P) = 0$

Assim para qualquer função conservativa, a integral em uma curva fechada é 0.

Se neste caso a integral é diferente de 0, então F obrigatoriamente não pode ser uma função conservativa, então II) não se relaciona nem com I) e nem com III).

Assim temos que as únicas alternativas que estão relacionadas são a I) e a III). Letra b.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Apenas as afirmativas I e III são equivalentes entre si.