Question

AJUDEM ME POR FAVOR

(FATEC) Se no desenvolvimento de (x^3+1/x)^n pelo binômio de Newton,o coeficiente do termo independente de x é 28,então n é igual a:

Answer 1

Utilizando definição de binomio de Newton, temos que n = 8.

Explicação passo-a-passo:

Um binomio de newton expandido é escrito da seguinte forma:

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}C_{i,n}a^{n-i}b^{i}$

Onde C é a combinação de i elemento dentre n.

No nosso caso a expansão fica:

$(x^3+\frac{1}{x})^n=\sum_{i=0}^{n}C_{i,n}(x^3)^{n-i}(\frac{1}{x})^{i}$

Ou ainda simplificando:

$(x^3+x^{-1})^n=\sum_{i=0}^{n}C_{i,n}(x^3)^{n-i}(x^{-1})^{i}$

Juntando as bases da multiplicação de expoentes:

$(x^3+x^{-1})^n=\sum_{i=0}^{n}C_{i,n}x^{3n-3i}x^{-i}$

$(x^3+x^{-1})^n=\sum_{i=0}^{n}C_{i,n}x^{3n-4i}$

Assim este é o nosso termo geral para a expansão, porém queremos o termo em que x esta elevado a 0 somente, pois é o termo independente, e tem coeficiente igual a 28, ou seja:

$x^{3n-4i}=1$

$C_{i,n}=28$

Simplificando:

$3n-4i=0$

$\frac{n!}{i!(n-i)!}=28$

Substituindo:

$3n-4i=0$

$i=\frac{3}{4}n$

Na equação de fatorial:

$\frac{n!}{(\frac{3}{4}n)!(n-\frac{3}{4}n)!}=28$

$\frac{n!}{(\frac{3}{4}n)!(\frac{1}{4}n)!}=28$

Note que com isso nós já podemos começar a chutar soluções pois esta bem restringido. Note que n só pode ser um multiplo de 4.

Substituindo 4 no lugar de n daria errado a solução de combinações, mas se n for igual a 8 fica :

$\frac{n!}{(\frac{3}{4}n)!(\frac{1}{4}n)!}=28$

$\frac{8!}{(\frac{3}{4}8)!(\frac{1}{4}8)!}=28$

$\frac{8!}{6!2!}=28$

$\frac{8.7}{2}=28$

$4.7=28$

$28=28$

Ou seja, deu exatamente igual a equação.

Assim temos que n = 8.