Question

Um octógono regular está circunscrito a um círculo de 20 cm de diâmetro, responda à pergunta e faça o que se pede
A) Qual a medida do apótema do octógono?
B)Cálcule a medida do lado do octógono e, em seguida, sua área ​

Answer 1

Coloquei uma figura em anexo para auxiliar na resolução.

A) Como o octógono regular está circunscrito, o apótema, a, é igual ao raio da circunferência. O raio é metade do diâmetro. Assim:

$a = r_c = \dfrac{d_c}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 \text{ cm}$

*** A partir daqui, vou fazer uma dedução, se quiser pular essa parte e ir direto para a solução B), tudo bem.

Para encontrar a medida do lado do octógono, pode-se formar um triângulo isósceles, como o da figura em anexo. Este triângulo possui como vértices o centro da circunferência, e dois dos vértices do octógono. A altura deste triângulo mede o apótema e a base mede o comprimento de um lado do octógono, L. Os lados deste triângulo medem x.

Como em um octógono regular poderíamos formar 8 triângulos iguais a este, o ângulo correspondente ao vértice O será um oitavo da circunferência (360°/8 = 45°).

Utilizando a Lei dos Cossenos no triângulo da figura:

$L^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot cos(45\textdegree)$

Dado que: $cos(45\textdegree) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$L^2 = 2 \cdot x^2- 2 \cdot x^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$L^2 = x^2 \cdot (2 - \sqrt{2})$

Agora, dividindo o triângulo isósceles em dois triâgulos retângulos iguais, com base igual L/2, altura igual ao apótema e hipotenusa igual a x. Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras:

$x^2 = a^2 + \left(\dfrac{L}{2}\right)^2$

$x^2 = a^2 +\dfrac{L^2}{4}$

$x^2 = \dfrac{4 \cdot a^2}{4} +\dfrac{L^2}{4}$

$x^2 = \dfrac{4 \cdot a^2 + L^2}{4}$

Substituindo isto na Lei dos Cossenos:

$L^2 = \dfrac{4 \cdot a^2 + L^2}{4} \cdot (2 - \sqrt{2})$

Passo o 4 multiplicando para o outro lado:

$4 \cdot L^2 = (4 \cdot a^2 + L^2) \cdot (2 - \sqrt{2})$

Fazendo a distributiva do lado direito:

$4 \cdot L^2 =8 \cdot a^2 -4\cdot\sqrt{2}\cdot a^2+ 2 \cdot L^2-\sqrt{2} \cdot L^2$

Passando os termos com $L^2$ para o lado esquerdo:

$4 \cdot L^2 - 2 \cdot L^2 + \sqrt{2} \cdot L^2 =8 \cdot a^2 -4\cdot\sqrt{2}\cdot a^2$

$2 \cdot L^2+ \sqrt{2} \cdot L^2 =4 \cdot a^2 \cdot \left(2 -\sqrt{2}\right)$

$\left(2+ \sqrt{2} \right)\cdot L^2 =4 \cdot a^2 \cdot \left(2 -\sqrt{2}\right)$

$L^2 =4 \cdot a^2 \cdot \left(\dfrac{2 -\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\right)$

Multiplicando do lado direito, numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

$L^2 =4 \cdot a^2 \cdot \left(\dfrac{2 -\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\dfrac{2 -\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\right)$

$L^2 =4 \cdot a^2 \cdot \left(\dfrac{4+2 -4 \cdot \sqrt{2}}{4-2}\right)$

$L^2 =4 \cdot a^2 \cdot \left(\dfrac{6 -4 \cdot \sqrt{2}}{2}\right)$

$L^2 =2 \cdot a^2 \cdot (6 -4 \cdot \sqrt{2})$

$L^2 =(12 -8 \cdot \sqrt{2}) \cdot a^2$

Aplicando a raiz quadrada dos dois lados:

$\sqrt{L^2} =\sqrt{(12 -8 \cdot \sqrt{2}) \cdot a^2}$

$L =\sqrt{4} \cdot \sqrt{3 -2 \cdot \sqrt{2}} \cdot \sqrt{a^2}$

$\boxed{L =2 \cdot\sqrt{3 -2 \cdot \sqrt{2}} \cdot a}$

B) Sabendo que o apótema, a, vale 10 cm, podemos substitui-lo na equação acima para encontrar o lado do octógono:

$L =2 \cdot\sqrt{3 -2 \cdot \sqrt{2}} \cdot 10$

$L =20 \cdot\sqrt{3 -2 \cdot \sqrt{2}} \text{ cm}$

Aproximando: $L \approx 8,2843 \text{ cm}$

Sabendo o lado, podemos calcular a área do polígono regular através da expressão:

$A = \dfrac{P \cdot a}{2}$

Onde P é o perímetro do octógono e a o seu apótema.

Sabendo que é regular, todos os lados são iguais, o octógono tem 8 lados e o perímetro é a soma de seus lados. Ou seja:

$P = 8 \cdot L = 8 \cdot 20 \cdot\sqrt{3 -2 \cdot \sqrt{2}}$

$P = 160 \cdot\sqrt{3 -2 \cdot \sqrt{2}}$

Sendo o apótema 10 cm, a área será:

$A = \dfrac{160 \cdot\sqrt{3 -2 \cdot \sqrt{2}} \cdot 10}{2}$

$A = 800 \cdot\sqrt{3 -2 \cdot \sqrt{2}}$

Aproximando:

$A \approx 331.371 \text{ cm}^2$