Question

O valor da potência de (1-i) elevado a 10 é:

Answer 1

Resposta:

-32i

Explicação passo-a-passo:

i = 1

i¹ = 1

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

i⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i

(1 - i)¹⁰ = [(1 - i)²]⁵ = (1 - 2i + i²)⁵ = ( 1 - 2i - 1)⁵ = (-2i)⁵ = (-2)⁵.i⁵ = -32i

Answer 2

-32i é o valor da potência (1-i)¹⁰

Números complexos

Os números complexos são construídos a partir de um novo axioma onde definimos o imaginário i como:

i² = -1

A partir desta definição podemos ver que multiplicações sucessivas de i são cíclicas. Ou seja, vemos que i=i⁵ e que i²=i⁶

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = i x i² = -i

i⁴ = i² x i² = 1

i⁵ = i² x i² x i = i

Expoentes

Além disso, podemos tomar usar as propriedades dos expoentes para escrever o problema numa forma equivalente, mas que seja mais fácil de resolver:

( 1 - i )¹⁰  = ( ( 1 - i )² )⁵

Repare que a equação acima é verdadeira uma vez que (x²)⁵ = x¹⁰

( ( 1 - i )² )⁵ = (1 - 2i -1)⁵

( ( 1 - i )² )⁵ = ( -2i )⁵

E por causa de ser um expoente, podemos usar a propriedade distributiva dos expoentes:

( -2i )⁵ = (-2)⁵ x i⁵ = -32i

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