Question

O incírculo do triângulo ABC toca AB e AC nos pontos P e Q, respectivamente. A reta PQ encontra as retas BI e CI nos pontos K e L, respectivamente. Mostre que ILK é tangente a ωᴀ, se, e somente se, AB+AC=3BC.​

Answer 1

Bom, vou tentar responder, mas não tenho certeza de que está correto, até porque, pra ser sincero, não entendi muito bem essa sentença: " ILK é tangente a ωᴀ". Mas pode ser que te ajude.

O incentro de qualquer triângulo circunscrito é dado pelo encontro entre as bissetrizes dos vértices A, B e C. Assim sendo, sabendo as coordenadas dos três vértices pode ser calculado por:

$I = \left(\dfrac{\overline{BC} \cdot x_A + \overline{AC} \cdot x_B + \overline{AB} \cdot x_C}{\overline{BC} + \overline{AC} + \overline{AB}},\dfrac{\overline{BC} \cdot y_A + \overline{AC} \cdot y_B + \overline{AB} \cdot y_C}{\overline{BC} + \overline{AC} + \overline{AB} }\right)$

O inraio (raio do incírculo) nada mais é do que um segmento perpendicular (forma 90°), que parte do incentro e toca a cada um dos três segmentos do triângulo. A distância entre ponto e reta é na verdade um segmento que passa pelo ponto e é perpendicular a reta. Assim sendo, o inraio é a distância de I até os segmentos do triângulo.

Pelo que eu entendi, para que a região triangular ILK seja tangente (toque em apenas um ponto) à circunferência ωᴀ, basta que ou o ponto P ou o ponto Q estejam na mesma linha da bissetriz dos vértices C e B, respectivamente. Aqui, eu arbitrariamente fixei o ponto P como referência.

Assim sendo, para que o ponto P esteja na bissetriz do vértice C, o ponto C precisa ser perpendicular ao segmento $\overline{AB}$.

Sejam $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ os ângulos relativos aos vértices A, B e C, respectivamente.

Ou seja, a bissetriz de C, que aqui chamo de $\dfrac{\gamma}{2}$ deve respeitar a regra:

$tan\left(\dfrac{\gamma}{2}\right) = \dfrac{1}{tan(\alpha)}$

para que isso aconteça. Então:

$\dfrac{sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)}{cos\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)} = \dfrac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$

Multiplicando cruzado:

$sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right) \cdot sin(\alpha) = cos(\alpha) \cdot cos\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)$

Passando tudo para a direita:

$cos(\alpha) \cdot cos\left(\dfrac{\gamma}{2}\right) - sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right) \cdot sin(\alpha) = 0$

Usando a identidade: $cos(x+y) = cos(x) \cdot cos(y) - sen(x) \cdot sen(y)$, teremos:

$cos\left(\alpha+\dfrac{\gamma}{2}\right) = 0$

Para que um cosseno seja 0, o argumento precisa ser 90° ou 270°, considerando que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, fico com a primeira opção. Assim:

$\alpha+\dfrac{\gamma}{2} = 90\textdegree$

$\dfrac{\gamma}{2} = 90\textdegree - \alpha$

$\gamma = 180\textdegree - 2 \cdot \alpha$

Sabendo que a soma dos ângulos internos precisa ser 180°:

$\alpha + \beta + \gama = 180\textdegree$

$\alpha + \beta + 180\textdegree - 2 \cdot \alpha = 180\textdegree$

$\beta -\alpha =0$

$\beta =\alpha$

Sendo assim, se aplicarmos a Lei dos Senos:

$\dfrac{\overline{AB}}{sen(\gamma)} = \dfrac{\overline{BC}}{sen(\alpha)} = \dfrac{\overline{AC}}{sen(\beta)}$

$\dfrac{\overline{AB}}{sen(180\textdegree - 2 \cdot \alpha)} = \dfrac{\overline{BC}}{sen(\alpha)} = \dfrac{\overline{AC}}{sen(\alpha)}$

Descobrimos que: $\overline{AC} = \overline{BC}$

Aplicando a propriedade: $sen(x-y) = sen(x) \cdot cos(y) - sen(y) \cdot cos(x)$

Temos:

$sen(180\textdegree - 2 \cdot \alpha) = sen(180\textdegree) \cdot cos(2 \cdot \alpha) - sen(2 \cdot \alpha) \cdot cos(180 \textdegree) = 0 -(-1 \cdot sen(2 \cdot \alpha)) = sen(2 \cdot \alpha)$

Pela mesma propriedade: $sen(2 \cdot x) = sen(x + x) = sen(x) \cdot cos(x) + sen(x) \cdot cos(x) = 2 \cdot sen(x) \cdot cos(x)$

Assim:

$\dfrac{\overline{AB}}{2 \cdot sen(\alpha) \cdot cos(\alpha)} = \dfrac{\overline{BC}}{sen(\alpha)}$

Simplificando:

$\overline{AB} = 2 \cdot cos(\alpha) \cdot \overline{BC}$

E assim, a soma de $\overline{AB}$ com $\overline{AC}$ equivale a:

$\overline{AB} + \overline{AC} = 2 \cdot cos(\alpha) \cdot \overline{BC} + \overline{BC} = \overline{BC} \cdot (1 + 2 \cdot cos(\alpha))$

Perceba que, se $\alpha = 0\textdegree$, teremos:

$\boxed{\overline{AB} + \overline{AC} = 3 \cdot \overline{BC}}$

Mas aí é que está a minha dúvida. Eu fiz um exemplo, onde $\alpha = 30\textdegree$ e os segmentos medem $\overline{AB} = \sqrt{3} \text{ , } \overline{BC} = \overline{AB} = 1$. O resultado está na figura que coloquei em anexo.

Perceba que, nesta configuração, temos que: $\overline{AB} + \overline{AC} = (\sqrt{3}+1) \cdot \overline{BC}$. Mas olhando na figura, o triângulo ILK tangencia (toca em um ponto) a circunferência. Então acredito que não entendi direito o enunciado do problema.