Question

O valor da integral de linha ∫xy² ds, em que C é a porção do primeiro quadrante de uma
circunferência unitária e centro na origem é:

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:   $\displaystyle\int_C xy^2 d\mathbf{s}=\frac{1}{3}.$

Explicação passo a passo:

Calcular o valor da integral de linha da função real de duas variáveis

    $\begin{array}{ccll}f:&\mathbb{R}^2&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\& (x,\,y)&\!\!\mapsto\!\!&f(x,\,y)=xy^2 \end{array}$

ao longo da curva $C,$ cuja imagem é a porção do primeiro quadrante da circunferência unitária (raio 1) com centro na origem $(0,\,0):$

    $\mathrm{Im}(C)=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~x\ge 0~~\mathrm{e}~~y\ge 0~~\mathrm{e}~~x^2+y^2=1\}$

Podemos parametrizar a curva $C$ usando coordenadas polares:

    $C:~\begin{cases}~x(\theta)=\cos \theta\\ ~y(\theta)=\mathrm{sen\,}\theta \end{cases}\qquad\mathrm{com~}0 \le \theta\le \dfrac{\pi}{2}.$

   

ou equivalentemente,

      $\begin{array}{ccll}C:&[0,\,\frac{\pi}{2}]&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}^2\\\\& \theta&\!\!\mapsto\!\!&C(\theta)=\big(\cos \theta,\,\mathrm{sen\,}\theta\big) \end{array}$

• Encontrando o módulo (ou norma) do vetor tangente à curva $C:$

    $\|C'(\theta)\|=\left\|\frac{d}{d\theta}(\cos \theta,\,\mathrm{sen\,}\theta)\right\|\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|C'(\theta)\|=\left\|(-\,\mathrm{sen\,} \theta,\,\cos\theta)\right\|\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|C'(\theta)\|=\sqrt{(-\,\mathrm{sen\,}\theta)^2+(\cos\theta)^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|C'(\theta)\|=\sqrt{\,\mathrm{sen^2\,}\theta+\cos^2\theta}=1$

para todo $\theta \in\left[0,\,\dfrac{\pi}{2}\right].$

• Descrevendo a integral de linha em termos do parâmetro $\theta,$ temos

    $\displaystyle\int_C xy^2 d\mathbf{s}\\\\\\ =\int_C f(x,\,y)\,d\mathbf{s}\\\\\\ =\int_0^{\pi/2} f(C(\theta))\cdot \|C'(\theta)\|\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{\pi/2} f(\cos\,\theta,\,\mathrm{sen\,}\theta)\cdot 1\,d\theta\qquad\mathrm{(i)}$

Substitua as coordendadas da curva $C$ na lei da função $f:$

    $f(x,\,y)=xy^2\quad\Longrightarrow\quad f(\cos \theta,\,\mathrm{sen\,}\theta)=(\cos \theta)(\mathrm{sen\,}\theta)^2$

e a integral (i) fica

    $=\displaystyle\int_0^{\pi/2} (\cos \theta)(\mathrm{sen\,}\theta)^2\cdot 1\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{\pi/2} \mathrm{sen^2}\theta\cdot \cos \theta\,d\theta\qquad\mathrm{(ii)}$

Faça a seguinte mudança de variável:

    $\mathrm{sen\,}\theta=u\quad\Longrightarrow\quad \cos \theta\,d\theta=du$

Novos limites de integração:

    quando $u=0\quad\Longrightarrow\quad \theta=\mathrm{sen\,}0=0,$

    quando $\theta=\dfrac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad u=\mathrm{sen\,}\dfrac{\pi}{2}=1$

Substituindo em (ii), a integral fica

    $=\displaystyle\int_0^1 u^2\,du\\\\\\ = \left.\left(\dfrac{u^3}{3}\right)\right|_0^1\\\\\\ =\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}$

    $=\dfrac{1}{3}\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}$

Bons estudos!