Question

Fatore os seguintes polinomios;

a)x^4-y^4

b)a^2 b^4 - x^2

c)a^6-b^6

d)x^10-100

e)y^8-9

Obs:^=elevado ao

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) x^4-y^4

Vemos aqui que podemos fatorar do seguinte modo:

(x²-y²)(x²+y²)

Também é percebido que (x²-y²) é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado: ou seja a²-b²=(a-b)(a+b)

Concluímos então que:

x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x²+y²)

b) a²b^4-x²

Vemos que b^4=(b²)²

Então podemos escrever (ab²)²-x²

Temos novamente quadrado da diferença, observe que se ab²=u

Então temos u²-x²

Então (u-x)(u+x)

Como u=ab² substituindo u temos: (ab²-x)(ab²+x) é a resposta final.

c) a^6-b^6

Novamente uma diferença de quadrados, porque?

Pense comigo a^6=(a³)² analogamente para b^6

Então podemos reescrever a^6-b^6 como (a³)²-(b³)²

Então usando a propriedade da diferença de quadrados temos:

(a³-b³)(a³+b³)

Lembre-se que: a³-b³= (a-b)(a²+ab+b²)

E que a³+b³= (a+b)(a²-ab+b²)

Então temos que a^6-b^6 = (a-b)(a²+ab+b²)(a+b)(a²-ab+b²)

d) x^10-100

Vemos que x^10= (x^5)²

e 100=10²

Então reescrevendo: (x^5)²-10²

De novo! Diferença de quadrados

Então: (x^5-10)(x^5+10)

e) y^8-9

Como no exercício anterior percebemos nesse que: y^8=(y^4)²

e 9=3²

Temos então: (y^4)²-3²

Usando a propriedade de diferença de quadrados chegamos em:

(y^4-3)(y^4+3)

Propriedades usadas para resolução dos exercícios:

a²-b²=(a-b)(a+b)

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

a³+b³= (a+b)(a²-ab+b²)

O primeiro resultado é imediato dado que:

a²=a*a e b²=b*b

a*a-b*b

colocando a-b em evidência temos: (a-b)(a+b)

o Segundo temos que:

a³-b³, colocando a-b em evidência

(a-b)(a²+b²) vemos que abrindo isso temos

a³+ab²-a²b-b² vemos que não chegamos em a³=b³

Precisa-se cancelar ab²-a²b colocando ab em evidência

ab(b-a) para cancelar vemos que se ab(a-b) cancela ab²-a²b

Portanto

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

Análogo para a³+b³