Em uma roda são colocadas n pessoas. Qual é a probabilidade de duas dessas pessoas
ficarem juntas?
Respostas
A probabilidade de duas dessas pessoas quaisquer ficarem juntas é de P = 2/(n-1).
Em um universo de n pessoas, com n > 2, escolhemos arbitrariamente dois indivíduos X e Y. Queremos encontrar a quantidade total de casos em que esses entes se dispõem juntos, isto é, um ao lado do outro.
Pela fórmula do total de opções de uma permutação circular de n pessoas, temos:
Total = (n-1)!
Para facilitar, considere os indivíduos X, Y como apenas um indivíduo C. Nesse caso, restarão (n-1) indivíduos para serem permutados. É justamente a permutação de (n-1) indivíduos que queremos que ocorra, pois, assim, já estaremos contando os casos em que X e Y estão juntos.
Desejados = [(n-1)-1]! = (n-2)!
Perceba que durante a escolha de "C" estabelecemos uma ordem: C = XY. Mas C pode ser também C = YX, o que fará com que a quantidade de casos desejados duplique.
Desejados = 2(n-2)!
Logo, a probabilidade nada mais é que a razão dos casos que queremos que ocorra (indesejados) pelo total.
P = 2.(n-2)! / (n-1)!
P = 2.(n-2)!/(n-1).(n-2)!
P = 2/(n-1)