Question

Como resolver a integral:

Answer 1

Usaremos frações parciais para avaliar esta integral.

Usando a divisão euclidiana temos

x⁵+x-1 |x³+1

-x⁵-x² x²

-x²+x-1

dividendo|divisor

quociente resto

$\frac{dividendo}{divisor} = quociente + \frac{resto}{divisor}$

Portanto

$\frac{ {x}^{5} + x - 1}{ {x}^{3} + 1 } = {x}^{2} + \frac{ - {x}^{2} + x - 1}{ {x}^{3} + 1} \\ {x}^{2} - \frac{ {x}^{2} - x + 1}{(x + 1)( {x}^{2} - x + 1)} \\ = {x}^{2} - \frac{1}{x + 1}$

$\int \frac{ {x}^{5} + x - 1 }{ {x}^{3} + 1}dx \\ = \int {x}^{2}dx - \int \frac{1}{x + 1}dx \\ = \frac{1}{3} {x}^{3} - ln |x + 1| + c$

Espero ter ajudado

bons estudos :)