Question

Mostre que n = a + b + a² + b² é um número par, quaisquer que sejam a , b € /N.​

Answer 1

Resposta:

Vide abaixo

Explicação passo-a-passo:

Sendo a e b naturais, vamos analisar 4 situações:

1) a=par e b=par

Se a=b=par, então a=2u, e b=2v, u,v naturais.

logo:

a + b + a^2 + b^2 =

2u + 2v + (2u)^2 + (2v)^2 =

2u + 2v + 4u^2 + 4(v^2) =

2u.(1 + 2u) + 2v.(1 + 2v) =

2.[u.(1 + 2u) + v.(1 + 2v)] =

fazendo k=u.(1 + 2u) + v.(1 + 2v), então temos 2.k

Ou seja, resulta num número par

2) a=par e b=ímpar (o resultado será semelhante para a=ímpar e b=par):

Se a=par então a=2u, e se b=impar então b=2v+1, u,v naturais.

logo:

a + b + a^2 + b^2 =

2u + 2v+1 + (2u)^2 + (2v+1)^2 =

2u + 2v + 1 + 4.u^2 + 4.v^2 + 2.2v.1 + 1 =

2u + 2v + 2 + 4.u^2 + 4.v^2 + 4.v =

2u + 6v + 2 + 4.u^2 + 4.v^2 =

2u.(1 + 2u) + 2v.(3 + 2v) + 2 =

2.[u.(1 + 2u) + v.(3 + 2v) + 1] =

fazendo k=u.(1 + 2u) + v.(3 + 2v) +1, então temos 2.k

Ou seja, resulta num número par

3) a=ímpar e b=ímpar

Se a=b=ímpar, então a=2u+1, e b=2v+1, u,v naturais.

logo:

a + b + a^2 + b^2 =

2u+1 + 2v+1 + (2u+1)^2 + (2v+1)^2 =

2u + 2v + 2 + 4u^2 + 4u + 1 + 4v^2 + 4v + 1 =

6u + 6v + 4 + 4u^2 + 4v^2 =

2u.(3 + 2u) + 2v.(3 + 2v) + 4 =

2.[u.(3 + 2u) + v.(3 + 2v) + 2] =

fazendo k=u.(3 + 2u) + v.(3 + 2v) + 2, então temos 2.k

Ou seja, resulta num número par

Blz?

Abs :)