Question

Na figura, a reta AB é tangente às circunferências de raios R e r, que são tangentes entre si. Sabendo que o produto R.r = 324, calcule o valor de AB.

Answer 1

O comprimento do segmento AB vale 36.

Explicação passo-a-passo:

Na figura anexa, foi criado o ponto C.

Com base nela, e usando o Teorema de Pitágoras, temos que:

$(OO')^2=OC^2+(CO')^2\\(R+r)^2=(R-r)^2+AB^2\\AB^2=(R+r)^2-(R-r)^2\\AB^2=R^2+2\,.\,R\,.\,r+r^2-(R^2-2\,.\,R\,.\,r+r^2)\\AB^2=R^2+2\,.\,R\,.\,r+r^2-R^2+2\,.\,R\,.\,r-r^2\\AB^2=4\,.\,R\,.\,r\\AB^2=4\,.\,324\\AB^2=1296\\AB=\sqrt{1296}\\AB=36$