Question

O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes
e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2. Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de
maneira que a probabilidade de um motorista perceber
pelo menos uma das placas instaladas fosse superior
a 99/100.
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a
serem instaladas é:​

Answer 1

A quantidade mínima de novas placas de propaganda a  serem instaladas é:​

d) 6.

Explicação:

A probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2.

Então, a probabilidade de ele não perceber nenhuma placa é:

1 - 1/2 = 1/2

Temos n placas ao longo da rodovia.

Um motorista pode perceber todas as n placas ou pode perceber uma, duas, três, etc. Mas também pode perceber nenhuma das n placas.

Assim, a probabilidade de ele perceber pelo menos um placa é:

todas as possibilidades menos a possibilidade de não perceber nenhuma

1 - (1/2)ⁿ

Isso deve ser superior a 99/100. Logo:

1 - (1/2)ⁿ > 99/100

- (1/2)ⁿ > 99/100 - 1

- (1/2)ⁿ > - 1/100

(1/2)ⁿ < 1/100

(1/2)ⁿ < 0,01

Por tentativa, temos:

(1/2)¹ = 0,5

(1/2)² = 0,25

(1/2)³ = 0,125

(1/2)⁴ = 0,0625

(1/2)⁵ = 0,03125

(1/2)⁶ = 0,015625

(1/2)⁷ = 0,00781  (0,0078 < 0,01)

Então, seriam 7 placas.

Mas o homem já instalou uma placa.

Então, só será necessário instalar mais 6 novas placas.

Answer 2

Ainda devem ser instaladas, no mínimo, 6 novas placas.

Probabilidade

A probabilidade de ocorrência de certo evento é dada pela razão entre os casos favoráveis e o total de casos.

Nesta questão, sabe-se que a probabilidade do motorista ver a placa de propaganda é de 1/2, analogamente, a probabilidade dele não ver a placa também é de 1/2.

Como deseja-se que a probabilidade de um motorista perceber a placa seja maior que 99/100, então a probabilidade dele não ver a placa deve ser menor que 1/100.

Assim, podemos estabelecer a seguinte igualdade, sendo n o número de placas:

$\frac{1}{100} < \left(\frac{1}{2} \right)^n$

Como $\left( \frac{1}{2} \right)^7 = \frac{1}{128}$, então temos que $n = 7$:

$\frac{1}{100} < \frac{1}{128}$

Porém, como já há 1 placa instalada, então ainda precisam ser instaladas 6 placas.

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