Question

Verdadeiro ou falso??

Um recipiente cônico tem 8dm de altura. Seu
espaço interior é ocupado por uma esfera cujo
raio tem a metade da medida do raio do cone e
por 60dm³ de água. Então, os valores inteiros
da medida do raio do recipiente cônico e do raio
da esfera (em dm) são números múltiplos de 3.

Answer 1

O volume do cone é dado por:

$V_{cone} = \pi \cdot r_{base}^2 \cdot \dfrac{h}{3}$

Onde $r_{base}$ é o raio da base e h é a altura.

O volume da esfera é dado por:

$V_{esfera} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_{esfera}^3$

Onde $r_{esfera}$ é o raio da esfera.

Sabendo que o volume do cone é ocupado pela esfera e mais 60 dm³ de água:

$V_{cone} = V_{esfera}+60$

Substituindo:

$\pi \cdot r_{base}^2 \cdot \dfrac{h}{3} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_{esfera}^3+60$

Multiplicando e dividindo o 60 por 3:

$\pi \cdot r_{base}^2 \cdot \dfrac{h}{3} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_{esfera}^3+60 \cdot \dfrac{3}{3}$

$\pi \cdot r_{base}^2 \cdot \dfrac{h}{3} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_{esfera}^3+\dfrac{180}{3}$

$\pi \cdot r_{base}^2 \cdot \dfrac{h}{3} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_{esfera}^3+\dfrac{180}{3}$

Assim simplifica os denominadores:

$\pi \cdot r_{base}^2 \cdot h = 4\cdot \pi \cdot r_{esfera}^3+180$

O raio da esfera é metade do raio da base do cone:

$r_{esfera} = \dfrac{r_{base}}{2}$

A altura do cone é 8 dm.

Substituindo na equação:

$\pi \cdot r_{base}^2 \cdot 8 = 4\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{r_{base}}{2}\right)^3+180$

$8 \cdot \pi \cdot r_{base}^2 = 4\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{r_{base}^3}{2^3}\right)+180$

$8 \cdot \pi \cdot r_{base}^2 = 4\cdot \pi \cdot \dfrac{r_{base}^3}{8}+180$

$-180 = \pi \cdot \dfrac{r_{base}^3}{2}-8 \cdot \pi \cdot r_{base}^2$

Multiplicando ambos os lados da equação por 2 e dividindo por $\pi$:

$-180 \cdot \dfrac{2}{\pi} = \pi \cdot \dfrac{r_{base}^3}{2} \cdot \dfrac{2}{\pi} -8 \cdot \pi \cdot r_{base}^2 \cdot \dfrac{2}{\pi}$

$r_{base}^3 -16 \cdot r_{base}^2 + \dfrac{180}{\pi} = 0$

Uma raiz desta equação é aproximadamente 2,96497, arredondamos para 3 dm.

Sendo assim, o raio da esfera é 1,5 dm.

O exercício diz que os números inteiros são múltiplos de 3. Se ignorarmos a vírgula, teremos 15 e 3 que são múltiplos de 3, logo verdadeira.