Imagine a construção do símbolo olímpico conforme a figura:
A circunferência λ3 com centro na origem tem raio igual a
5 cm. As circunferências λ1 e λ5 têm seus centros a 14 cm
do centro de λ3. Os centros de λ2 e λ4 estão a √64 cm do
centro de λ3 e tem ordenada igual a −4.
Determine a equação das cinco circunferências que representam o símbolo olímpico.
Respostas
As equações das cinco circunferências que representam o símbolo olímpico são: λ₁: (x + 14)² + y² = 25, λ₂: (x + 4√3)² + (y + 4)² = 25, λ₃: x² + y² = 25, λ₄: (x - 4√3)² + (y + 4)² = 25 e λ₅: (x - 14)² + y² = 25.
A equação reduzida de uma circunferência é definida por (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², com o centro igual a C = (x₀,y₀) e r o raio.
Se a circunferência λ₃ possui centro na origem e tem raio igual a 5 cm, então a sua equação é igual a λ₃: x² + y² = 25.
Como as circunferências λ₁ e λ₅ possuem centros a 14 cm do centro de λ₃ e, do plano cartesiano, temos que o centro de λ₁ é o ponto (-14,0) e o centro de λ₅ é (14,0).
Logo:
λ₁: (x + 14)² + y² = 25
λ₅: (x - 14)² + y² = 25.
Vamos supor que a distância dos centros das circunferências λ₂ e λ₄ é igual a x'.
Utilizando o Teorema de Pitágoras:
(√64)² = 4² + x²
64 = 16 + x²
x² = 48
x = 4√3.
Ou seja, os centros das circunferências λ₂ e λ₄ são, respectivamente, (-4√3, -4) e (4√3, -4). Portanto:
λ₂: (x + 4√3)² + (y + 4)² = 25
λ₄: (x - 4√3)² + (y + 4)² = 25.