Question

1- Dados os números complexos: z1=2(cosπ/4+i.senπ/4), z2=4(cosπ/2+i.senπ/2) e z3=1(cosπ/3+i.senπ/3). Que número complexo representa ( z1. z2)/z3?


II- Marque sua resposta. *

7(cos5π/12+i.sen5π/12)

7(cos3π/4+i.sen3π/4)

8(cos5π/12+i.sen5π/12)

8(cosπ/2+i.senπ/2)

8(cos3π/4+i.sen3π/4)

2- A forma trigonométrica do número complexo (1+√3i)^6



*

12(cosπ/2+i.senπ/2)

64(cosπ/2+i.senπ/2)

12(cos2π+i.sen2π)

64(cos2π+i.sen2π)

​

Answer 1

Resposta:

1)

Primeiramente efetuaremos a múltiplicação. Lembre-se da fórmula:

$z_{1}.z_{2} = |z_{1}| |z_{2}| ( \cos(θ _{1} +θ _{2} ) + i. \sin(θ _{1} + θ _{2})$

$z_{1}.z_{2} = 2 \times 4( \cos( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} ) + i. \sin( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} )$

$z_{1}.z_{2} = 8( \cos( \frac{3\pi}{4} + i. \sin( \frac{3\pi}{4} ) )$

Agora dividiremos. Lembre-se da fórmula:

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{ |z_{1}| }{ |z_{2}| } ( \cos(θ _{1} - θ _{2} ) + i. \sin(θ _{1} - θ _{2}))$

$\frac{z_{1}.z_{2} }{z_{3}} = \frac{8}{1} ( \cos( \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} ) + i. \sin( \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} ))$

$\frac{z_{1}.z_{2} }{z_{3}} = 8( \cos( \frac{5\pi}{12}) + i. \sin( \frac{5\pi}{12} ) )$

2)

Vamos, primeiramente, achar a forma trigonométrica do número no interior dos parênteses:

${(1 + \sqrt{3} i)}^{6}$

$a = 1 \: \: e \: \: b = \sqrt{3}$

Lembre-se das fórmulas:

$z = |z| ( \cos(θ) + i. \sin(θ) )$

$|z| = |a + bi| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

Agora podemos encontrar o módulo do complexo:

$|z| = |1 + \sqrt{3}i | = \sqrt{ {1}^{2} + { \sqrt{3} }^{2} } = 2$

Agora temos que encontrar o argumento:

$\cos(θ) = \frac{a}{ |z| }$

$\cos(θ) = \frac{1}{2}$

$\sin(θ) = \frac{b}{ |z| }$

$\sin(θ) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

para

$0 \leqslant θ < 2\pi$

então

$θ = \arg(z) = \frac{\pi}{3}$

$z = |z| ( \cos(θ) + i. \sin(θ) )$

$z = 2( \cos( \frac{\pi}{3} ) + i. \sin( \frac{\pi}{3} ) )$

Agora precisamos encontrar o complexo elevado à sexta potência. Lembre-se da fórmula:

${z}^{n} = |z| ^{n} ( \cos(n.θ) + i. \sin(n.θ) )$

${z}^{6} = {2}^{6} ( \cos( \frac{\pi}{3} \times 6 ) + i. \sin( \frac{\pi}{3} \times 6)$

${z}^{6} = 64( \cos(2\pi) + i. \sin(2\pi) )$

$(1 + \sqrt{3} i) ^{6} = 64( \cos(2\pi) + i. \sin(2\pi) )$