Um polinômio p(x) que tem grau 4 e cujo coeficiente do termo em que a variável está a quarta potência é 8 satisfaz p(5)=0 e tem 1 como raiz de multiplicidade 3. Escreva o polinômio na forma fatorada
Respostas
Resposta:
(8) . (x-1)^3 . (x-5)
Explicação passo-a-passo:
Para responder esta questão é preciso relembrar o teorema da decomposição, o qual afirma que a multiplicação de dos termos fatorados de um expressão, gera o polinômio original.
Então, vamos lá.
O enunciado diz que no polinômio, o 1 é uma raiz com multiplicidade 3, ou seja, o número 1 é raiz 3 vezes. Sendo assim, esta condição nos possibilita a pensar na seguinte expressão:
(x-1)^3
Pense comigo, (x-1) . (x-1) . (x-1) = 0 se, somente se, x-1 = 0, então, x = 1, fazendo isso para os três termos, iremos obter 3 vezes o número 1. Provado a multiplicidade 3.
O enunciado também informa que P (5) = 0, ou seja, 5 é raiz do polinômio, sendo assim:
x = 5 então, x - 5 = 0
Eba! Temos quase a forma fatorada completa. Por fim, o enunciado diz que este polinômio é de grau 4 e que o coeficiente que tem esta variável elevado a quarta potência é 8, ou seja, o primeiro termo do polinômio tem que ser 8x^4, concorda?
Contudo, as duas expressões que encontramos, que foram (x-1)^3 e (x-5), quando multiplicadas, só gera x^4, o que se deduz, que tenho que multiplicar por 8, completando assim a expressão fatorada:
(8) . (x-1)^3 . (x-5)
Para comprovação, você pode fazer a distributiva, que é multiplicar as expressões termo a termo, vai obter o polinômio na sua forma completa, como 5 é raiz, substitui 5 no valor de x e observe se zera a equação.
Espero ter ajudado!