Question

Defina o valor da integral indefinida dada:

(Dica: Utilize integração por substituição e lembre-se que sen2 x+cos2 x=1.)


Essa ta me quebrando, não consigo achar uma explicação.

Answer 1

O valor da integral indefinida $\int \frac{tg^3(x)}{cos^3(x)}dx$ é sec⁵(x)/5 - sec³(x)/3 + c.

Sabemos que a secante é a inversa do cosseno. Sendo assim, podemos dizer que $\frac{tg^3(x)}{cos^3(x)}$ é igual a tg³(x).sec³(x).

Além disso, perceba que tg³(x).sec³(x) é igual a tg(x).tg²(x).sec³(x) e que tg²(x) = sec²(x) - 1. Então, tg³(x).sec³(x) = (sec²(x) - 1).tg(x).sec³(x).

Devemos calcular, então a integral ∫(sec²(x) - 1).tg(x).sec³(x)dx.

Considerando u = sec(x), então du = tg(x).sec(x)dx. Assim, temos que:

∫(sec²(x) - 1).tg(x).sec³(x)dx = ∫(u² - 1).u².du = ∫(u⁴ - u²).du = u⁵/5 - u³/3.

Voltando à variável x, podemos concluir que: sec⁵(x)/5 - sec³(x)/3.

Como a integral é indefinida, então a resposta é sec⁵(x)/5 - sec³(x)/3 + c.