Question

Se um campo vetorial tem como potencial a função V=xyz, qual a força está associada a esse campo?

Answer 1

Utilizando definição de forças conservativas e campo potencial, temos que nosso campo de força é dada por $\vec{F}=(-yz;-xz;-xy)$.

Explicação passo-a-passo:

Forças provindas de campos potenciais são dadas pela seguinte função:

$\vec{F}=-\vec{\nabla}V$

Onde este é o operador gradiente.

Assim fazendo as derivadas em cada dimensão:

Derivada em x:

$\frac{\partial V}{\partial x}=yz$

Derivada em y:

$\frac{\partial V}{\partial y}=xz$

Derivada em z:

$\frac{\partial V}{\partial z}=xy$

E como estas derivadas são as componentes do gradiente de V, então:

$\vec{\nabla}V=(yz;xz;xy)$

Então a força basta inverter o sinal:

$\vec{F}=-\vec{\nabla}V=(-yz;-xz;-xy)$

Assim temos que nosso campo de força é dada por $\vec{F}=(-yz;-xz;-xy)$.