Question

O dono de um restaurante verificou que a função de demanda de copos de suco de laranja é dada por $p = 11 - 0,02x$, onde $p$ é o preço de venda do copo de suco de laranja, em reais, e $x$ é o número de copos vendidos em um dia. Isso significa que $x$ copos de suco de laranja são vendidos em um dia, quando o preço de venda do copo de suco de laranja é reais $p = 11 - 0,02x$. Assim, por exemplo, 100 copos de suco de laranja são vendidos em um dia quando o preço de venda do copo de suco de laranja é $p = 11 - 0,02 \cdot 100 = 9$ reais. Sabe-se que o custo de produção, em reais, de $x$ copos de suco de laranja é $C = 100 + x$. A receita obtida pela venda de $x$ copos de suco de laranja em um dia é dada por $R = p \cdot x$, e o lucro obtido pela venda dos copos de laranja nesse dia é $L= R - C$. Assim, por exemplo, quando o preço de venda do copo de suco de laranja é 9 reais, em um dia são vendidos 100 copos de suco de laranja, a receita obtida pela venda desses copos de suco de laranja nesse dia é $R = p \cdot x = 9 \cdot 100 = 900$ reais, o custo de produção desses copos de suco de laranja é $C = 100 + 100 = 200$ reais e o lucro obtido pela venda desses copos de suco de laranja nesse dia é de $L = R - C = 900 - 200 = 700$ reais.


1. Calcule o lucro $L$ obtido em um dia pela venda de $x$ copos de suco de laranja nesse dia.

2. Qual deve ser o preço de venda do copo de suco de laranja de modo que o lucro diário obtido pela venda de copos de suco de laranja seja máximo?

Answer 1

O preço deve ser de R$6,00 para obter lucro máximo.

Sendo p = 11 - 0,02x a função demanda para os sucos de laranja e sabendo que p.x é a receita obtida, temos que a função receita será dada por:

R = (11 - 0,02x)x

R = 11x - 0,02x²

O custo da produção de x copos de suco foi dada e corresponde a C = 100 + x, assim, sendo o lucro a diferença entre a receita e o custo, temos:

L = 11x - 0,02x² - 100 - x

L = -0,02x² + 10x - 100

Para maximizar o lucro, devem ser vendidos um total de:

xv = -b/2a

xv = -10/2(-0,02)

xv = 250 copos de suco

Para que sejam vendidos 250 copos, o preço do copo deve ser:

p = 11 - 0,02.250

p = R$6,00