Question

Provar que o triângulo de vértices A=(2, 3, 1), B=(2, 1, -1) e C=(2, 2, -2) é um triângulo retângulo.

Answer 1

É verdade que o triângulo de vértices A = (2,3,1), B = (2,1,-1) e C = (2,2,-2) é um triângulo retângulo.

Primeiramente, vamos determinar os vetores AB, AC e BC. Dados os pontos A = (2,3,1), B = (2,1,-1) e C = (2,2,-2), temos que:

AB = (2,1,-1) - (2,3,1)

AB = (2 - 2, 1 - 3, -1 - 1)

AB = (0,-2,-2)

AC = (2,2,-2) - (2,3,1)

AC = (2 - 2, 2 - 3, -2 - 1)

AC = (0,-1,-3)

BC = (2,2,-2) - (2,1,-1)

BC = (2 - 2, 2 - 1, -2 + 1)

BC = (0,1,-1).

Agora, vamos calcular os produtos internos entre AB e AC, AB e BC, AC e BC:

<AB,AC> = 0.0 + (-2).(-1) + (-2).(-3)

<AB,AC> = 0 + 2 + 6

<AB,AC> = 8

<AB,BC> = 0.0 + (-2).1 + (-2).(-1)

<AB,BC> = 0 - 2 + 2

<AB,BC> = 0

<AC,BC> = 0.0 + (-1).1 + (-3).(-1)

<AC,BC> = 0 - 1 + 3

<AC,BC> = 2.

Quando o produto interno é zero, significa que os dois vetores são perpendiculares.

Como <AB,BC> = 0, então podemos afirmar que o triângulo ABC é retângulo em B.