Question

8)A soma dos cinco termos consecutivos de uma P.A. crescente é 15 e o produto dos extremos é
igual a 5. Determinar esses termos.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Progressão aritmétrica:

$\begin{cases}~\mathsf{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}~=~15}~~\\ \\ \mathsf{a_{1}.a_{5}~=~5} \end{cases}$

Observações:

$\mathsf{a_{n}=a_{k}+\Big(n-k\Big)r }$

$\mathsf{a_{2}~=~a_{1}+r }$

$\mathsf{a_{3}~=~a_{1}+2r }$

$\mathsf{a_{4}~=~a_{1}+3r}$

$\mathsf{a_{5}~=~a_{1}+4r}$

• Note que temos várias incognitas , pelas observações obtidas , vamos efectuar alguma Substituições ,de tal maneira que tenhamos um sistema de incógnitas mais amigáveis:

$\begin{cases}~\mathsf{a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r~=~15} \\ \\\mathsf{a_{1}.\Big(a_{1}+4r\Big)~=~5} \end{cases}$

$\begin{cases}~\mathsf{5a_{1}+10r~=~15} \\ \\ \mathsf{a_{1}.\Big(a_{1}+4r\Big)=5} \end{cases}$

$\begin{cases}~\mathsf{a_{1}=\dfrac{15-10r}{5}} \\ \\ \mathsf{\Big(\dfrac{15-10r}{5}\Big)\Big(\dfrac{15-10r}{5}+4r\Big)~=~5} \end{cases}$

$\begin{cases}~\mathsf{a_{1}=\dfrac{15-10r}{5}} \\ \\ \mathsf{\Big(\dfrac{15-10r}{5}\Big)\Big(\dfrac{15-10r+20r}{5}\Big)~=~5} \end{cases}$

$\begin{cases}~\mathsf{a_{1}=\dfrac{15-10r}{5}} \\ \\ \mathsf{\Big(\dfrac{15-10r}{5}\Big)\Big(\dfrac{15+10r}{5}\Big)~=~5} \end{cases}$

$\begin{cases}~\mathsf{a_{1}=\dfrac{15-10r}{5}} \\ \\ \mathsf{\dfrac{225-100r^2}{25}~=~5}\end{cases}$

$\begin{cases}~\mathsf{a_{1}=\dfrac{15-10r}{5}} \\ \\ \mathsf{-100r^2+225~=~125 }\end{cases}$

$\mathsf{-100r^2=125-225}$

$\mathsf{-100r^2=-100}$

$\mathsf{x^2~=~\dfrac{100}{100} }$

$\mathsf{x^2~=~1}$

$\mathsf{x=\sqrt{1} }$

$\boxed{\mathsf{x~=~1}}}}$$\checkmark$

• Agora Note que tendo achado a razão desta P.A podemos sem medo de ser feliz achar todos os Termos necessários na Sequençia .

$\begin{cases}~\mathsf{a_{1}~=~1}~\\ \mathsf{a_{2}=a_{1}+r=1+1=2}\\ \mathsf{a_{3}=a_{1}+2r=1+2=3}\\ \mathsf{a_{4}=a_{1}+3r=1+3=4}\\ \mathsf{a_{5}=a_{1}+4r=1+4=5} \end{cases}$

Espero ter ajudado bastante!)