O corte transversal de um túnel, de pista única, em que a base tem 20 m de largura e a altura máxima é de 8 m, tem o formato de um arco de parábola, conforme representado na ilustração e no gráfico a seguir, sendo V o vértice da parábola.
Um caminhão, cujo formato do corte transversal de sua carroceria é um retângulo, tem altura do chão até seu ponto mais alto igual a 6 m. O ponto mais alto desse caminhão está em sua carroceria. Para que ele consiga passar no túnel, a maior largura possível para a carroceria do caminhão, dentre as opções abaixo, em metros, é:
A) 6
B) 8
C) 11
D) 13
Respostas
equação da parábola:
y = a*x*(x - 20)
y = a*(x² - 20x)
y = ax² - 20ax
vértice
Vx = 20a/2a = 10
Vy = a*10² - 20a*10 = 8
100a - 200a = 8
100a = -8
a = -8/100 = -2/25
equação da parábola:
y = -2*(x² - 20x)/25
y = 6
-2*(x² - 20x)/25 = 6
20x - x² = 75
x² - 20x + 75 = 0
delta
d = 400 - 300 = 100
as raizes:
x1 = (20 + 10)/2 = 15
x2 = )20 - 10)/2 = 5
a maior largura
L = 15 - 5 = 10
dentre as opções abaixo, a maior largura, em metros, é
L = 8 m
A carroceria desse caminhão deverá ter 8 metros de largura. Letra b).
Olhando para a figura da própria questão, para o gráfico da direita, podemos destacar 3 pontos dele:
- O = (0,0);
- A = (20,0);
- V = (10,8).
O ponto V é o ponto de altura máxima do túnel. Devido à simetria, podemos intuir que ele está exatamente no ponto médio entre x = 0 e x = 20m, que equivale a x = 10m.
Toda equação do segundo grau terá seu gráfico em fórmula de parábola, e sua função pode ser representada como:
y = f(x) = ax² + bx + c
, sendo a, b e c constantes reais a serem determinadas a seguir.
Vamos pegar cada um dos pontos e ir substituindo na fórmula.
Ponto O:
Se O = (0,0) temos então x = 0 e y = 0. Substituindo:
0 = a*0² + b*0 + c
c = 0
Portanto, nossa função terá o formato:
y = f(x) = ax² + bx + 0 = ax² + bx
Ponto A:
Agora o ponto é A = (20,0), ou seja, x = 20 e y = 0. Substituindo:
0 = a*20² + b*20 = 400a + 20b
Dividindo tudo por 20:
20a + b = 0
b = -20a
Ponto V:
Por fim temos V = (10,8), logo x = 10 e y = 8. Substituindo novamente:
8 = a*10² + b*10 = 100a + 10b
Substituindo a relação b = -20a:
100a + 10*(-20a) = 8
100a - 200a = 8
-100a = 8
a = -8/100 = -0,08
E também:
b = -20a = -20*(-0,08) = 1,6
Deste modo, a nossa parábola terá a seguinte equação:
y = -0,08x² + 1,6x
Com essa equação em mãos vamos retornar ao enunciado do problema. O caminhão terá 6m de altura. A altura estaria representada no eixo y do gráfico, logo vamos substituir y = 6m na nossa equação:
y = 6
-0,08x² + 1,6x = 6
-0,08x² + 1,6x - 6 = 0
Aplicando Bháskara, vamos ter:
Δ = b² - 4ac = 1,6² - 4*(-0,08)*(-6) = 2,56 - 1,92 = 0,64
x = -b±√(Δ)/2a
x = [-1,6±√(0,64)]/2*(-0,08) = (-1,6±0,8)/(-0,16)
x' = (-1,6 - 0,8)/(-0,16) = 15m
x'' = (-1,6 + 0,8)/(-0,16) = 5m
A largura da carroceria desse caminhão deve ser menor do que 15 - 5 = 10 metros. Dentre as alternativas, a maior delas, que ainda seja menor que 10m, é de 8 metros.
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