Question

De acordo com as medidas indicadas, calcule a área total da figura, sabendo que os polígonos em vermelho,azul e verde:
Vermelho:16 cm
Azul: 24 cm
Verde: 10 cm
Sem cor:20 cm
Altura total: 16 cm

Answer 1

7. A área em azul é:

$A = A_{AM} - A_{am}$

Onde: $A_{AM}$ é a área do arco de raio maior e $A_{am}$ é a área do arco de raio menor.

Como o arco é de 30°, 30° equivale à 1/12 de circunferência, assim:

$A = \dfrac{1}{12} \cdot (\pi \cdot 50^2 - \pi \cdot 40^2)$

$A = \dfrac{1}{12} \cdot (\pi \cdot 2500 - \pi \cdot 1600)$

$A = \dfrac{1}{12} \cdot (\pi \cdot 900)$

$A = 75 \cdot \pi$

8. A área em verde é a área do semi-círculo maior (30 cm de raio), subtraindo-se as áreas dos dois semicírculos menores (10 e 20 cm de raio):

$A = \dfrac{1}{2} \cdot (\pi \cdot 30^2 - \pi \cdot (20^2 + 10^2))$

$A = \dfrac{1}{2} \cdot (\pi \cdot 900 - \pi \cdot (400 + 100))$

$A = \dfrac{1}{2} \cdot (\pi \cdot 900 - \pi \cdot 500)$

$A = \dfrac{1}{2} \cdot (\pi \cdot 400)$

$A = 200 \cdot \pi$

9. A área mais simples de calcular é a do retângulo vermelho, simplesmente:

$A_{verm} = 10 \cdot 16 = 160$

Para o losango, podemos imaginar que os dois lados da direita são diagonais de dois quadradinhos. Como é regular, sendo d a diagonal de um quadrado e $\ell$ o seu lado:

$d = \sqrt{2} \cdot \ell$

Ou seja, o lado do quadradinho mede:

$\ell = \dfrac{d}{\sqrt{2}}$

A diagonal deste quadradinho é o lado do losango, ou seja, vale 10. Assim, o lado do quadrado vale:

$\ell = \dfrac{10}{\sqrt{2}}$

Multiplicando por raiz de 2 em cima e em baixo:

$\ell = \dfrac{10}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{10 \cdot \sqrt{2}}{2}$

$\ell = 5 \cdot \sqrt{2}$

Assim, a área dos dois quadradinhos da direita do losango será:

$A_{q} = (5 \cdot \sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot \sqrt{2}^2 = 25 \cdot 2$

$A_{q} = 50$

Como temos dois quadradinhos do lado direito, a área dos dois somados, será 100.

No lado esquerdo do losango, temos dois triângulos retângulos idênticos, como a área do triângulo é metade da área do quadrado, o lado esquerdo do losango terá área total 50.

Agora, falta os dois retângulos, o maior terá comprimento igual a $24 - 5 \cdot \sqrt{2}$ e largura $5 \cdot \sqrt{2}$. Assim, sua área será:

$A_{azul} = (24 - 5 \cdot \sqrt{2}) \cdot 5 \cdot \sqrt{2} = 24 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} - 5 \cdot \sqrt{2}^2$

$A_{azul} = 120 \cdot \sqrt{2} - 25 \cdot 2 = 120 \cdot \sqrt{2} - 50$

O retângulo maior terá comprimento igual a $20 - 5 \cdot \sqrt{2}$ e largura $5 \cdot \sqrt{2}$. Assim, sua área será:

$A_{preto} = (20 - 5 \cdot \sqrt{2}) \cdot 5 \cdot \sqrt{2} = 20 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} - 5 \cdot \sqrt{2}^2$

$A_{preto} = 100 \cdot \sqrt{2} - 25 \cdot 2 = 100 \cdot \sqrt{2} - 50$

Assim, a área total da figura será:

$A_{total} = A_{verm} + A_{azul} + A_{preto} + 100 + 50$

O 100 + 50 se refere à área dos dois quadradinhos e dos dois triângulos formados a partir do losango verde.

Substituindo:

$A_{total} = 160 + 120 \cdot \sqrt{2} - 50 + 100 \cdot \sqrt{2} - 50 + 100 + 50$

$A_{total} = 210 + 220 \cdot \sqrt{2}$