Question

Resolva os seguintes sistemas de equações

Answer 1

Resposta:

a)

${2}^{x - y} = {2}^{6}$

$log_{2}(xy) = 4$

Na primeira expressão, temos:

$x - y = 6$

Na segunda expressão, temos:

$xy = {2}^{4}$

O que forma o sistema:

$x - y = 6 \: \: (1)$

$xy = 16 \: \: (2)$

"Mexendo" na primeira expressão, tem-se:

$x = 6 + y \: \: (3)$

Substituindo (3) em 2, temos:

$(6 + y)y = 16$

${y}^{2} + 6y - 16 = 0$

$y = \frac{ -6± \sqrt{100} }{2}$

$y_{1} = - 8 \: \: e \: \: y _{2} = 2$

Substuindo os valores encontrados em (3), temos:

$x _{1} = - 2 \: \: e \: \: x_{2} = 8$

Como os valores têm que ser positivos, temos:

$(x, \: y) = (8, \: 2)$

b)

$log_{5}(xy) = 3$

$log( \frac{x + y}{x - y} ) = log( \frac{3}{2} )$

"Mexendo" nas expressões, temos:

$xy = {5}^{3}$

$\frac{x + y}{x - y} = \frac{3}{2}$

O que nos dá:

$xy = 125 \: \: (1)$

$x = 5y \: \: (2)$

Substituindo (2) em (1), temos:

$5 {y}^{2} = 125$

${y}^{2} = 25$

$y _{1} = 5 \: \: e \: \: y _{2} = - 5$

Substituindo os valores encontrados em (1), temos:

$x _{1} = - 25 \: \: e \: \: x_{2} = 25$

Como os valores têm que ser positivos, ficamos com:

$(x, \: y) = (25, \: 5)$