Question

resolução passo a passo(100 pontos)

Determine os valores de m∈R para os quais o domínio da função f(x)=1/√(2x²-mx+m) é o conjunto dos reais


gabarito 0<m<8


OBS: esse resultado nao seria caso o numero de baixo da fração fosse negativo, e se fosse negativo, daria uma raiz de um número negativo, não implicaria dizer que a f(x) pertenceria ao conjunto dos complexos?​

Answer 1

Para que o D(f) = ℝ ,então qualquer x ∈ ℝ deve produzir um radicando maior que zero (0). Por extensão, depreende-se que tal expressão do radicando não pode ter raízes reais, já que isso possibilitaria um radicando nulo para estas raízes.

2x² -mx +m > 0

Além disso, de imediato percebe-se que m ≠ 0 ,pois se m = 0, o radicando seria 2x², e não se poderia utilizar x = 0 (já que seria gerada uma indeterminação).

Sendo assim, o discriminante (Δ) dessa expressão deve ser menor que zero (para que não haja raízes).

Δ < 0

(-m) ² -4.2.m < 0

m² -8m < 0

m < 0

ou

m - 8 < 0

m < 8

Todavia, como há uma oposição de sinais na expressão para a variável m, então m não pode ser menor que zero, pois isso viabilizaria uma expressão com raízes reais (o que não se quer).

Logo, m só pode estar entre 0 e 8.