Question

$\int \sqrt{x^4 + 1} \: dx$​

Answer 1

Esta integral não possui solução fechada. O que pode fazer é usar uma função especial para representá-la.

$\int \sqrt{x^4 + 1} \cdot dx = \int (x^4 + 1)^{\frac{1}{2}}\cdot dx$

Temos que:

$\int (x^a+1)^b \cdot dx = x \cdot _2 F_1 \left(\dfrac{1}{a},-b, 1+\dfrac{1}{a},-x^a \right)$

Onde $_p F_q \left(\alpha,\beta, \gamma,z \right)$ é chamada função hipergeométrica. Quando p=2 e q=1 (como aqui), temos o caso mais frequente.

Assim, podemos escrever a integral como:

$\int (x^4+1)^{\frac{1}{2}} \cdot dx= x \cdot _2 F_1 \left(\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{2}, 1+\dfrac{1}{4},-x^4 \right)$

$\int (x^4+1)^{\frac{1}{2}} \cdot dx= x \cdot _2 F_1 \left(\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{4},-x^4 \right)$