Question

os números complexos 1 e 2+i são raizes do polinômio X^3+AX^2+BX+C, onde a, b e c são números reais. O valor de C é:

Answer 1

Um polinômio de grau n pode ser escrito em função de suas raízes:

$p(x) = (x-r_1) \cdot (x-r_2) \cdot \cdot \cdot (x-r_n)$

Onde $r_1, \cdot \cdot \cdot, r_n$ são suas raízes. Aqui temos um polinômio de terceiro grau, com duas raízes conhecidas. Assim:

$p(x) = (x-1) \cdot (x-(2+i)) \cdot (x-r_3)$

Em um polinômio de terceiro grau, teremos:

$p(x) = x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + c$

Onde:

$a = -(r_1 + r_2 + r_3)$

$b = r_1 \cdot r_2+ r_2 \cdot r_3 + r_3 \cdot r_1$

$c = -r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$

Ou:

$a = -(1 +(2+i) + r_3) = -(3+i+r_3)$

$b = 1 \cdot (2+i)+ (2+i) \cdot r_3 + r_3 \cdot 1 = 2+i + 2 \cdot r_3 + i \cdot r_3 + r_3$

$c = -1 \cdot (2+i) \cdot r_3 = -2 \cdot r_3 - i \cdot r_3$

Primeiro precisamos calcular $r_3$. Sabendo que os valores de a, b e c precisam ser reais.

Em "a", a parte imaginária de $r_3$ precisa anular com i, ou seja, a parte imaginária de $r_3$ é -i.

Em b:

$b = 2+i + 3 \cdot r_3 + i \cdot r_3$

Chamarei $r_3 = K - i$, onde K é a parte real de $r_3$.

Substituindo:

$b = 2+i + 3 \cdot (K-i) + i \cdot (K-i)$

$b = 2+i + 3 \cdot K-3\cdot i + i \cdot K-i^2$

$b = 2-2\cdot i + 3 \cdot K+ i \cdot K-(-1)$

$b = 2-2\cdot i + 3 \cdot K+ i \cdot K+1$

$b = 3-2\cdot i + 3 \cdot K+ i \cdot K$

$b = (3+3 \cdot K)+ i \cdot (K-2)$

A parte imaginária de b também precisa se anular. Assim:

$K-2 = 0$

$K=2$

Logo: $r_3 = 2-i$

Agora, podemos calcular c:

$c = -2 \cdot (2-i)- i \cdot (2-i)$

$c = -4+2\cdot i- 2 \cdot i+i^2$

$c = -4-1$

$\boxed{c = -5}$