Respostas
Resposta:
(π/e).(5 + 2.e³) u.v.
Explicação passo-a-passo:
Temos que, sendo y= ln x:
Para y= -1:
-1 = ln x
ln x = -1
x= e⁻¹
Para y= 2:
2 = ln x
ln x = 2
x= e²
Logo, o volume V do sólido de revolução solicitado é dado por:
e²
V= ∫ y². π dx
e⁻¹
e²
V= π. ∫ (ln x)². dx
e⁻¹
De fato, se traçar o gráfico pode ser visto que y = ln x é:
negativo para x < 1
0 para x = 1
positivo para x > 1
Assim, para calcular o volume do sólido de forma correta (a qual terá a forma se um cálice deitado), o certo é calcular o mesmo conforme a fórmula abaixo:
1 e²
V= π. ∫ (ln x)². dx + π. ∫ (ln x)². dx (I)
e⁻¹ 1
(*) para resolver essa integral temos que aplicar a integração por partes:
Seja ∫ (ln x)². dx = ∫ 1. (ln x)². dx
Fazendo:
u= (ln x)² => du= 2.(ln x). (1/x). dx
v= x => dv= dx
Logo:
∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - ∫ x.2.(ln x). (1/x) dx
∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - 2.∫ (ln x) dx (II)
Trabalhando agora com ∫ (ln x) dx, usando o mesmo método:
Fazendo:
w= ln x => dw= (1/x) dx
z= x => dz= dx
Logo:
∫ w.dz = w.z - ∫ z.dw
∫ (ln x) dx = (ln x).x - ∫ x. 1/x dx
∫ (ln x) dx = (ln x).x - ∫ dx
∫ (ln x) dx = (ln x).x - x + C
∫ (ln x) dx = x. (ln x - 1) + C (III)
Substituindo (III) em (II) temos:
∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - 2.{x. (ln x - 1)}
∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - 2x.(ln x -1) + C
∫ (ln x)² dx = (ln x)².x - 2x.(ln x) + 2x + C
Substituindo em (I):
1 e²
V= π. ∫ (ln x)². dx + π. ∫ (ln x)². dx
e⁻¹ 1
1
V= π.[(ln x)².x - 2x.(ln x) + 2x] | +
e⁻¹
e² π.[(ln x)².x - 2x.(ln x) + 2x] |
1
V= π.[(ln 1)².1 - 2.1.(ln 1) + 2.1] -
π.[(ln e⁻¹)².e⁻¹ - 2.e⁻¹.(ln e⁻¹) + 2.e⁻¹] +
π.[(ln e²)².e² - 2.e².(ln e²) + 2.e²] -
π.[(ln 1)².1 - 2.1.(ln 1) + 2.1]
V= π.[(ln e⁻¹)².e⁻¹ - 2.e⁻¹.(ln e⁻¹) + 2.e⁻¹] + π.[(ln e²)².e² - 2.e².(ln e²) + 2.e²]
V= π.[(-1.ln e)².e⁻¹ - 2.e⁻¹.(-1.ln e) + 2.e⁻¹] + π.[(2.ln e)².e² - 2.e².(2.ln e) + 2.e²]
V= π.[(-1)².e⁻¹ - 2.e⁻¹.(-1) + 2.e⁻¹] + π.[(2)².e² - 2.e².(2) + 2.e²]
V= π.[e⁻¹ + 2.e⁻¹ + 2.e⁻¹] + π.[4e² - 4.e² + 2.e²]
V= π.[5e⁻¹] + π.[2.e²]
V= π.(5/e + 2.e²)
V= (π/e).(5 + 2.e³) u.v.
Blz?
Abs :)