• Matéria: Matemática
  • Autor: salvatoreduda433
  • Perguntado 7 anos atrás

Obtenha o coeficiente do termo em x^-3 no desenvolvimento de (√x +1/x)^6

Respostas

respondido por: Anônimo
46

Resposta:

Veja que o binômio é do tipo (x+a)^n. Sabendo disso, podemos usar a fórmula do termo geral:

T _{p + 1} =  \binom{n}{p}  {a}^{p} {x}^{n - p}

Assim, temos:

T _{p + 1} =  \binom{6}{p}  ({ \frac{1}{x} })^{p} ({ \sqrt{x} })^{6 - p}

T _{p + 1} =   \binom{6}{p}  {x}^{ - p} . {x}^{ \frac{6 - p}{2} }

T _{p + 1} =  \binom{6}{p} . {x}^{ \frac{6 - 3p}{2} }

Como o termo pedido é x^{-3}, tem-se, dessa maneira:

 {x}^{ - 3}  =  {x}^{ \frac{6 - 3p}{2} }

 \frac{6 - 3p}{2}  =  - 3

 - 3p =  - 12

p = 4

Substituindo na expressão, temos:

T _{4 + 1} =  \binom{6}{4} . {x}^{ \frac{6 - 3.4}{2} }

Lembre-se que

 \binom{n}{p}  =  \frac{n!}{p!(n - p)!}

Assim, temos:

T _{5} =  \frac{6!}{4!(6 - 4)!} . {x}^{ - 3}

T _{5} =  \frac{6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2!} . {x}^{ - 3}

T _{5} = 15 {x}^{ - 3}

Dessa forma, o coeficiente (parte numérica) do termo x^{-3} é 15.

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