Question

Obtenha o coeficiente do termo em x^-3 no desenvolvimento de (√x +1/x)^6

Answer 1

Resposta:

Veja que o binômio é do tipo $(x+a)^n$. Sabendo disso, podemos usar a fórmula do termo geral:

$T _{p + 1} = \binom{n}{p} {a}^{p} {x}^{n - p}$

Assim, temos:

$T _{p + 1} = \binom{6}{p} ({ \frac{1}{x} })^{p} ({ \sqrt{x} })^{6 - p}$

$T _{p + 1} = \binom{6}{p} {x}^{ - p} . {x}^{ \frac{6 - p}{2} }$

$T _{p + 1} = \binom{6}{p} . {x}^{ \frac{6 - 3p}{2} }$

Como o termo pedido é $x^{-3}$, tem-se, dessa maneira:

${x}^{ - 3} = {x}^{ \frac{6 - 3p}{2} }$

$\frac{6 - 3p}{2} = - 3$

$- 3p = - 12$

$p = 4$

Substituindo na expressão, temos:

$T _{4 + 1} = \binom{6}{4} . {x}^{ \frac{6 - 3.4}{2} }$

Lembre-se que

$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n - p)!}$

Assim, temos:

$T _{5} = \frac{6!}{4!(6 - 4)!} . {x}^{ - 3}$

$T _{5} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2!} . {x}^{ - 3}$

$T _{5} = 15 {x}^{ - 3}$

Dessa forma, o coeficiente (parte numérica) do termo $x^{-3}$ é 15.