Matéria: Matemática
Autor: anacarolinemr
Perguntado 7 anos atrás

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O gráfico de uma função z = f (x,y) é uma superfície no espaço tridimensional. Um plano tangente à superfície é um plano que a toca em um único ponto. Seja P (x0,y0,z0) um ponto da superfície, à equação do plano tangente à superfície será dada por

Alternativa 1:
2x + 8y - z - 10 = 0

Alternativa 2:
x + 4y + z - 1 = 0

Alternativa 3:
- 2x + 2y - 8z + 3 = 0

Alternativa 4:
- x + 4y + 2z - 2 = 0

Alternativa 5:
2x - 8y + 2z - 5 = 0

Determine a equação do plano tangente à superfície z0 = f (x,y) = x2 + 2y2 - 1 no ponto P (1,2,8).

Anexos:

Respostas

respondido por: brunosargiani

Resposta:

Alternativa 1:

2x + 8y - z - 10 = 0

Explicação passo-a-passo:

Fazendo a derivada com relação a x e y

f'(x) =2x

f'(y) = 4y

Fazendo a gradiente com a relaçao a x

2(1) = 2

fazendo a gradiente com a relação a y

4y = 4(2) = 8

Montando os dados que temos na equação:

Fx(P)(x-x0) + Fy(P)(y-y0) - (z-z0)

2(x-1) + 8(y-2) - (z-8)

-Aplicando a distributiva:

2x-2 + 8y-16 -z+8

Chegamos ao resultado:

2x+8y-z-10=0

respondido por: solkarped

✅ Após realizar os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x + 8y - z = 10\:\:\:}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x + 8y - z - 10 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f(x, y) = x^{2} + 2y^{2} - 1\\P = (1, 2, 8)\end{cases}$

Organizando a equação, temos:

$\Large\begin{cases} \rho: x^{2} + 2y^{2} - z - 1 = 0\\P = (1, 2, 8)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície devemos ter um ponto pertencente à superfície e um vetor normal passando pelo ponto, ou seja:

$\Large\begin{cases} P = (X_{P},\,Y_{P},\,Z_{P})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n},\,Y_{n},\,Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano tangente utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}$ $\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$}$

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

Verificar se o ponto "P" pertence à superfície "s". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "P" na equação da superfície. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1^{2} +2\cdot2^{2} - 8 - 1 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1 + 8 - 8 - 1 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$}$

Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o ponto "P" pertence à referida superfície. Então, podemos continuar com os cálculos.

Calcular a derivada parcial de "ρ" em termos de "x".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial \rho}{\partial x} = 2\cdot x^{2 - 1} = 2x\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "y".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial \rho}{\partial x} = 2\cdot2\cdot y^{2 - 1} = 4y\end{gathered}$}$

Calcular a derivada parcial de "s" em termos de "z".

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{\partial \rho}{\partial x} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\end{gathered}$}$

Montar o vetor gradiente.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \nabla \rho(x, y, z) = \left(\frac{\partial \rho}{\partial x},\,\frac{\partial \rho}{\partial y},\,\frac{\partial \rho}{\partial z}\right)\end{gathered}$}$