Question

O departamento de estradas de uma cidade deseja construir uma área para recreação. Ela deverá ser retangular, com 500m2 de área e cercada nos três lados não adjacentes à estrada. a) Enuncie a função Q(x,y), que indica a quantidade de cerca utilizada, onde x e y são as dimensões da área de recreação. b) Para que valor de x e y teremos a menor quantidade de cerca utilizada? c) Qual a menor quantidade de cerca utilizada para cercar a área?​

Answer 1

A menor quantidade de cerca utilizada para cercar a área será igual a 20√10 m.

Se a cerca terá que ser colocada nos três lados não adjacentes à estrada, se x e y são as dimensões dessa área, onde x é lado adjacente a estrada, temos que:

a) A quantidade de cerca utilizada será:

Q(x,y) = x + 2y

b) Sabendo que a área deve ser de 500 m², temos:

x.y = 500

y = 500/x

Substituindo na equação do item a:

Q(x) = x + 2(500/x)

Q(x) = x + 1000/x

O valor mínimo será dado pela derivada da função acima igualada a zero:

Q'(x) = 1 - 1000/x² = 0

1000/x² = 1

x² = 1000

x = 10√10 m

O valor de y será:

y = 500/10√10

y = 5√10 m

c) A menor quantidade de cerca será:

Qmin = 10√10 + 2(5√10)

Qmin = 20√10 m