Question

Considere o triângulo ABC na figura. a seguir cuja área é igual a 104m^2.
Se M e N são os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a área do quadrilátero BMNC.

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Answer 1

Resposta:

Creio que deva dividir por 4 para descobrir o perimetro primeiro , depis baasta multiplicar cada um e ver se é a medida da area

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:

A área do quadrilátero será 3/4 da área do triângulo ABC:

$A_{BMNC} = 78 \text{ m}^2$

Demonstração:

A área do quadrilátero BMNC é a área do triângulo $\triangle ABC$ subtraindo-se a área do triângulo $\triangle AMN$:

$A_{BMNC} = A_{\triangle ABC} - A_{\triangle AMN}$

Assim, basta descobrir quanto vale a área do triângulo AMN. Sabendo que M e N são pontos médios dos segmentos AB e AC, temos que:

$\overline{AM} = \dfrac{\overline{AB}}{2}$

$\overline{AN} = \dfrac{\overline{AC}}{2}$

e utilizando a Lei dos Cossenos, chamarei o ângulo $M\hat{A}N$ de $\alpha$:

$\overline{MN}^2 = \left(\dfrac{\overline{AB}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\overline{AC}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \dfrac{\overline{AB}}{2} \cdot \dfrac{\overline{AC}}{2} \cdot \cos(\alpha)$

$\overline{MN}^2 = \dfrac{\overline{AB}^2}{4} + \dfrac{\overline{AC}^2}{4}- 2 \cdot \dfrac{\overline{AB} \cdot \overline{AC}\cdot \cos(\alpha)}{4}$

Como todos os termos do lado direito tem denominador comum, passo o 4 multiplicando para o outro lado:

$4 \cdot \overline{MN}^2 = \overline{AB}^2+ \overline{AC}^2- 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC}\cdot \cos(\alpha)$

Agora, aplico a Lei dos Cossenos mais uma vez, mas com relação ao segmento $\overline{BC}$. Perceba que o ângulo do vértice A continua sendo $\alpha$:

$\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 +\overline{AC}^2 - 2 \cdot \overline{AB}\cdot \overline{AC}\cdot \cos(\alpha)$

Isto significa que:

$4 \cdot \overline{MN}^2 = \overline{BC}^2$

e:

$\overline{MN}^2 = \dfrac{\overline{BC}^2}{4}$

$\overline{MN} = \sqrt{\dfrac{\overline{BC}^2}{4}}$

$\overline{MN} = \dfrac{\sqrt{\overline{BC}^2}}{\sqrt{4}}$

$\overline{MN} = \dfrac{\overline{BC}}{2}$

Isto demonstra que o segmento $\overline{MN}$ mede metade de $\overline{BC}$. Agora vou calcular o semi-perímetro do triângulo $\triangle ABC$:

$p_{\triangle ABC} = \dfrac{\overline{AB}+\overline{AC} + \overline{BC}}{2}$

O semiperítro do triângulo $\triangle AMN$ será:

$p_{\triangle AMN} = \dfrac{\dfrac{\overline{AB}}{2} + \dfrac{\overline{AC}}{2} + \dfrac{\overline{BC}}{2}}{2}$

ou seja:

$p_{\triangle AMN} = \dfrac{\overline{AB}+\overline{AC}+ \overline{BC}}{4}$

$p_{\triangle AMN} = \dfrac{p_{\triangle ABC}}{2}$

Sabendo o semiperímetro e a medida dos lados, a área de qualquer triângulo pode ser calculada através da fórmula de Heron:

$A =\sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}$

Onde p é o semiperímetro e a, b e c os três lados. Vamos aplicar esta fórmula no triângulo $\triangle{ABC}$:

$A_{\triangle ABC} =\sqrt{p_{\triangle ABC} \cdot (p_{\triangle ABC}-\overline{AB}) \cdot (p_{\triangle ABC}-\overline{AC}) \cdot (p_{\triangle ABC}-\overline{BC})}$

Agora aplico a mesma fórmula ao triângulo $\triangle AMN$:

$A_{\triangle AMN} =\sqrt{\dfrac{p_{\triangle ABC}}{2} \cdot \left(\dfrac{p_{\triangle ABC}}{2}-\dfrac{\overline{AB}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{p_{\triangle ABC}}{2}-\dfrac{\overline{AC}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{p_{\triangle ABC}}{2}-\dfrac{\overline{BC}}{2}\right)}$

$A_{\triangle AMN} =\sqrt{\dfrac{p_{\triangle ABC}}{2} \cdot \left(\dfrac{p_{\triangle ABC}-\overline{AB}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{p_{\triangle ABC}-\overline{AC}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{p_{\triangle ABC}-\overline{BC}}{2}\right)}$

$A_{\triangle AMN} =\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot p_{\triangle ABC} \cdot \left(p_{\triangle ABC}-\overline{AB}\right) \cdot \left(p_{\triangle ABC}-\overline{AC}\right) \cdot \left(p_{\triangle ABC}-\overline{BC}\right)}$

$A_{\triangle AMN} =\sqrt{\dfrac{1}{16}} \cdot\sqrt{ p_{\triangle ABC} \cdot \left(p_{\triangle ABC}-\overline{AB}\right) \cdot \left(p_{\triangle ABC}-\overline{AC}\right) \cdot \left(p_{\triangle ABC}-\overline{BC}\right)}$

$A_{\triangle AMN} =\dfrac{1}{4} \cdot A_{\triangle ABC}$

Assim sendo, a área do quadrilátero BMNC é:

$A_{BMNC} = A_{\triangle ABC} - \dfrac{1}{4} \cdot A_{\triangle ABC}$

$A_{BMNC} = \dfrac{4 \cdot A_{\triangle ABC}}{4} - \dfrac{1}{4} \cdot A_{\triangle ABC}$

$A_{BMNC} = \dfrac{3 \cdot A_{\triangle ABC}}{4}$

$A_{BMNC} = \dfrac{3 \cdot 104}{4}$

$\boxed{A_{BMNC} = 78 \text{ m}^2}$