Question

Simplifique as expressões a seguir.

Answer 1

$log_25.log_{36}13.log_56.log_{13}4 <==> log_26.log_{36}4 \\ log_26.log_{6^2}4 <==> \frac{1}{4}.log_26.log_64 <==> \frac{1}{4}.log_24 <==> \frac{1}{4}.2 = 0,5$

$5^{log_37.log_89.log_72 <==> 5^{log_32.log_{2^3}9}  <==> 5^{\frac{1}{3}.log_32.log_29}} \\ \\ 5^{.\frac{1}{3}log_39} <==> 5^{\frac{1}{3}.2} <==> 5^{\frac{2}{3}} \\ \\ 5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$

Answer 2

a)Utilizarei aqui duas propriedades dos logaritmos:

I) Mudança de base:

$\log_{a}[b] = \dfrac{\log_c[b]}{\log_{c}[a]}$

e:

II) Expoente do logaritmando:

$\log_{a}[b^c] = c \cdot \log_a[b]$

Na primeira, vou mudar todas as bases para 13:

$\dfrac{\log_{13}[5] \cdot \log_{13}[13] \cdot \log_{13}[6] \cdot \log_{13}[4]}{\log_{13}[2]\cdot \log_{13}[36]\cdot \log_{13}[5]}$

Sabendo que: $\log_{a}[a] = 1$, $36 = 6^2$ e $4 = 2^2$

Teremos:

$\dfrac{\log_{13}[5] \cdot 1 \cdot \log_{13}[6] \cdot \log_{13}[2^2]}{\log_{13}[2]\cdot \log_{13}[6^2]\cdot \log_{13}[5]}$

Alguns termos se anulam, vou usar a segunda propriedade:

$\dfrac{\log_{13}[6] \cdot 2 \cdot \log_{13}[2]}{\log_{13}[2]\cdot 2 \cdot \log_{13}[6]}$

Tudo se cancela, se sobra apenas 1:

$\dfrac{2}{2} = 1$

b) Aqui vou mudar tudo para a base 5:

$5^{\frac{\log_5[7] \cdot \log_5[3^2] \cdot \log_5[2]}{\log_5[3]\cdot \log_5[2^3] \cdot \log_5[7]}}$

Alguns termos se cancelam, usarei a segunda propriedade:

$5^{\frac{2 \cdot \log_5[3] \cdot \log_5[2]}{\log_5[3]\cdot 3\cdot \log_5[2]}}$

Alguns termos se anulam, sobrando apenas:

$5^{\frac{2}{3}}$

Que é o mesmo que:

$\sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$