Question

Sabendo que o ponto P (4,1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência X²-6x +y² +4=0, então ache a equação da reta que passa por A e B?

Answer 1

A equação da reta que passa por A e B é x + y = 5.

Vamos escrever a equação reduzida da circunferência x² - 6x + y² + 4 = 0. Para isso, vamos completar quadrado:

x² - 6x + 9 + y² = -4 + 9

(x - 3)² + y² = 5.

Ou seja, o centro da circunferência é igual a C = (3,0) e o raio mede √5.

Agora, vamos determinar o vetor PC:

PC = (3,0) - (4,1)

PC = (3 - 4, 0 - 1)

PC = (-1,-1).

Esse vetor é normal à reta que passa por A e B.

Sendo assim, temos que a reta é da forma -x - y = c.

Veja que a reta que passa por A e B também passa por P. Substituindo o ponto P na equação acima:

-4 - 1 = c

c = -5.

Portanto, a equação da reta que passa por A e B é:

-x - y = -5

x + y = 5.