Question

Alguém poderia, por favor. me ajudar nessas questões:

1) O número natural que satisfaz a equação: 4^(2x – 7) = 64, é:
A) 3;
B) 5;
C) 6;
D) 7.

Resposta: letra A

2) A equação 8. 2^x = 4^x - 48 possui duas raízes reais distintas y e z. O valor de y + z é:
A) 12;
B) -12;
C) -4;
D) 8.

Resposta: letra D

=> Tem a imagem de ambas no anexo, já que não dá para colocar as equações corretamente.

Answer 1

1)

Deixemos as bases de ambos membros com o mesmo valor:

4 = 2²

64 = 2⁶

aplicando no problema

$\mathbf{4^{2X-7}=64}$

$\mathbf{(2^2)^{2X-7}=2^6}$

2 × (2X - 7) = 4X - 14

$\mathbf{2^{4X-14}=2^6}$

como as bases sao iguais, trabalhamos apenas com os expoentes:

4X - 14 = 6

4X = 6 + 14

4X = 20

X = 20/4

X = 5

......................................................

2)

Lembremos que 4 = 2², logo

$\mathbf{4^X = (2^2)^X=2^{2X}}$

reescrevendo o problema

$\mathbf{8\cdot 2^X=4^X-48\Leftrightarrow 8\cdot 2^X=2^{2X}-48 }$

Façamos a seguinte substituição: 2ˣ = W, logo

$\mathbf{8\cdot W=W^2-48}$

passando tudo para o 1º membro:

- W² + 8W + 48 = 0    ×(-1)

W² - 8W - 48 = 0     resolvendo essa equação do 2º grau

W' = 12 e W'' = -4

como fizemos 2ˣ = W, precisamos encontrar de fato é o valor de X, entao:

i:

2ˣ = W

2ˣ = 12

㏒ 2ˣ = log 12

X ㏒ 2 = ㏒ 12

X = ㏒ 12/㏒ 2

X ≈ 3,6

ii:

2ˣ = W

2ˣ = - 4

㏒ 2ˣ = log - 4

como nao existe logaritmo de logaritmando negativo, entao ∄ solução para ii