Question

Seja M uma matriz quadrada inversível de ordem 5, onde $t _ {M}$ é a sua transposta e $M ^ {-1}$ é a sua inversa. Se o determinante da matriz (3.$A ^{-1}$) vale 144, então o determinante da matriz 2. $t _ { A }$, vale:
Resposta: 54
OBS.: o Primeiro M está elevado a t e o A daqui também 2. $t _ { A }$ e

Answer 1

Antes de mais nada você precisa saber algumas propriedades de determinantes:

1ª) $det(A)=det(A^t)$;

2ª) $det(A^{-1})= \frac{1}{det(A)}$

3ª) $det(k.A_{nxn})=k^ndet(A_{nxn})$

Vamos lá!

Temos que: $det(3.A^{-1})=144$, sendo que

$det(3.A^{-1}_{5x5})=3^5.det(A^{-1})=144$ (apliquei a minha propriedade 3)

Complementando temos: $3^5.det(A^{-1})=\frac{3^5}{det(A)}=144$ (apliquei a minha propriedade 2)

Seguindo...
$3^5=144.det(A).:\ det(A)= \frac{3^5}{144}\ (i)$

Queremos saber: $det(2.A^t)$

Pela propriedade 1 e 3: $det(2.A^t)=2^5det(A^t)=2^5det(A)$

Substituindo $(i)$, temos: $2^5det(A)=\frac{2^5.3^5}{144}= \frac{7776}{144}=54$


Hugs