Question

Um triangulo tem hipotenusa igual a 8cm e perimetro 18cm. Determine a sua area.

a)18

b)9

c)5+ raiz quadrada de 7

d)5- raiz quadrada de 7​

Answer 1

Resposta:

Seja a, b e c os lados do triângulo, onde:

a=hipotenusa

b=cateto maior

c=cateto menor

O perímetro do triângulo é dado por:

$c + b + 8 = 18$

$b + c= 10 \: \: (1)$

Já sua hipotenusa é dada por:

${c}^{2} + {b}^{2} = {8}^{2}$

${b}^{2} + {c}^{2} = 64 \: \: (2)$

Formamos o sistema:

$b + c = 10 \: \: (1)$

${b}^{2} + {c}^{2} = 64\:\:(2)$

"Mexendo", na primeira equação, temos:

$b = 10 - c \: \: (3)$

Substituindo (3) em (2), temos:

$(10 - c) ^{2} + {c}^{2} = 64$

Na expressão $(10-c)^{2}$ temos o produto notável $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$. Sabendo disso, basta desenvolver a expressão:

$100 - 20c + {c}^{2} + {c}^{2} = 64$

$36 - 2c + 2 {c}^{2} = 0$

Para simplificar, dividiremos cada membro da equação por 2, o que nos dá:

${c}^{2} - 10c = 18$

$c = \frac{ - ( - 10)± \sqrt{( { - 10})^{2} - 4 \times 1 \times 18} }{2 \times 1}$

$c = \frac{10± \sqrt{28} }{2}$

$c_{1} = 5 + \sqrt{7} \: \: e \: \: c_{2} = 5 - \sqrt{7}$

Substituindo os valores encontrados em (3), temos:

$b_{1} = 5 - \sqrt{7} \: \: e \: \: b_{2} = 5 + \sqrt{7}$

Como $b>c$, temos que:

$b = 5 + \sqrt{7} \: cm \: \: e \: \: c = 5 - \sqrt{7} \: cm$

A área de um triângulo é o produto de sua base por sua altura dividido por 2. Com isso, temos:

$S = \frac{b.h}{2}$

$S = \frac{(5 + \sqrt{7})(5 - \sqrt{7} )}{2}$

$S = \frac{ {5}^{2} - \sqrt{7} ^{2} }{2}$

$S = \frac{18}{2}$

$S = 9 \: c {m}^{2}$

Letra B.