Mostre que os seguintes subconjuntos de ih são subespacios
a) W = {(x, y, z. t) E R^4 I x+y=0 e z-t=0}
Respostas
Devemos provar que o subconjunto W é subespaço do espaço vetorial R4.
Para isso, três condições devem ser satisfeitas:
1) O vetor nulo deve pertencer ao conjunto W.
2) Se u e v são pertencentes a W, então a soma u+v pertence a W.
3) Para qualquer escalar real (p), se um vetor u pertence a W, então o produto: p.u pertence a W.
Avaliando cada uma das condições, para W = {(x, y, z. t) E R^4 I x+y=0 e z-t=0}:
1) Se x = y = z = t = 0, então o vetor nulo do R^4 (0,0,0,0) E W.
2) Dado um vetor u = (a,b,c,d) e um vetor v = (e,f,g,h), ambos pertencentes a W, então podemos reescrever um vetor genérico pelos condicionais "x+y=0 e z-t=0".
a = -b
c = d
e = -f
g = h
u = (-b,b,c,c); v = (-f,f,g,g)
> Estrutura de vetores de W, para quaisquer a,b,c,d,e,f,g e h pertencentes aos reais.
u + v = (-(b+f),(b+f),(c+g),(c+g))
= (-k,k,l,l)
Observe que se (b+f) = k e (c+g) = l, então a soma segue a estrutura de um vetor de W. Logo, 2) éstá satisfeita.
3) Dado um coeficiente p real, se u pertence a W, então o produto:
p.u = p.(-b,b,c,c) = (-pb,pb,pc,pc)
Veja que se pb = m e pc = n, então o vetor resultante segue a estrutura de um vetor genérico de W.
p.u = (-m,m,n,n) E W
Portanto, está provado que W é um subespaço vetorial do R^4.