Question

Um projétil, ao ser lançado, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = -2t2 + 80t,
onde té o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t.
Determine, após o chute:
a) A altura do projetil após 5 segundos;
b) o instante em que o projetil se encontra a 600 metros de altura:
C) o instante em que projétil retornará ao solo:
d) o Instante em que o projétil se encontra na altura máxima:
e) a altura máxima atingida pelo projétil.
f) A representação gráfica da trajetória do projétil.

Answer 1

A altura do projétil após 5 segundos é 350 metros; O instante em que o projétil se encontra a 600 metros de altura é 10 segundos ou 30 segundos; O instante em que o projétil retornará ao solo é 40 segundos; O instante em que o projétil se encontra na altura máxima é 20 segundos; A altura máxima atingida pelo projétil é de 800 metros.

a) Substituindo o valor de t por 5, obtemos:

h(5) = -2.5² + 80.5

h(5) = -2.25 + 400

h(5) = -50 + 400

h(5) = 350.

Ou seja, a altura do projétil é de 350 metros.

b) Se o projétil está a 600 metros de altura, então, temos a equação:

-2t² + 80t = 600

-t² + 40t - 300 = 0.

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

Δ = (40)² - 4.(-1).(-300)

Δ = 1600 - 1200

Δ = 400

$t=\frac{-40+-\sqrt{400}}{2.(-1)}$

$t=\frac{-40+-20}{-2}$

$t'=\frac{-40-20}{-2}=30$

$t''=\frac{-40+20}{-2}=10$.

Portanto, os instantes são 10 segundos e 30 segundos.

c) O projétil retornará ao solo quanto t = 0, ou seja:

-2t² + 80t = 0

-t² + 40t = 0

t(-t + 40) = 0

t = 0 ou t = 40.

Ele retornará ao solo após 40 segundos.

d) O instante em que o projétil se encontra na altura máxima é calculado pelo x do vértice.

O x do vértice é definido por xv = -b/2a.

Logo:

xv = -80/2.(-2)

xv = -80/-4

xv = 20 segundos.

e) Substituindo o valor de t por 20, obtemos:

h(20) = -2.20² + 80.20

h(20) = -2.400 + 1600

h(20) = -800 + 1600

h(20) = 800.

Logo, a altura máxima atingida é de 800 metros.

f) O gráfico da função h está anexado abaixo.