Question

16. (PEIES/2008) Considere um cilindro circular
reto cuja altura é o dobro do diâmetro da base e
um prisma reto de base quadrada cuja altura é o
dobro do lado da base. Para um mesmo volume, a
razão entre a superfície total do cilindro e a super-
fície total do prisma é igual a:
a) 1/2

Answer 1

Resposta:

raizcub(pi/4)

Explicação passo-a-passo:

Seja o cilindro circular reto cuja altura hc é o dobro do diâmetro da base d. Logo, hc= 2d

Sendo d= 2r, onde r é o raio da base, então:

hc= 2.(2.r)

hc= 4.r

O volume do cilindro Vc é dado por:

Vc= r^2. pi. hc

Vc= r^2. pi. 4.r

Vc= 4. pi. r^3

Seja um prisma reto de base quadrada de lado l cuja altura hq é o dobro do lado da base, então:

hq= 2.l

O volume do prisma Vq é dado por:

Vq= l^2. hq

Vq= l^2. 2.l

Vq= 2. l^3

Como os volumes entre os sólidos são iguais, então:

Vc = Vq

4. pi. r^3 = 2. l^3

4.pi/2 = l^3 / r^3

(l/r)^3 = 2.pi

(l/r) = raizcub(2.pi) (I)

As áreas superficiais totais dos sólidos são dadas por:

Ac = Área Cilindro = r^2. pi. 2 + 2. pi. r. hc

Ac = r^2. pi. 2 + 2. pi. r. 4.r

Ac = r^2. pi. 2 + r^2. pi. 8

Ac = 10. pi. r^2

Aq = Área Prisma = l^2. 2 + 4. l. hq

Aq = 2. l^2 + 4. l. 2.l

Aq = 2. l^2 + 8. l^2

Aq = 10. l^2

Logo, Ac/Aq é dado por:

Ac/Aq = 10. pi. r^2 / 10. l^2

Ac/Aq = pi. r^2 / l^2

Ac/Aq = pi. (r/l)^2

Ac/Aq = pi. (l/r)^(-2)

Substituindo (I):

Ac/Aq = pi. (raizcub(2.pi))^(-2)

Ac/Aq = pi. ((2.pi)^(1/3))^(-2)

Ac/Aq = pi. (2.pi)^(1/3).(-2)

Ac/Aq = pi. (2.pi)^(-2/3)

Ac/Aq = pi. 2^(-2/3). pi^(-2/3)

Ac/Aq = 2^(-2/3). pi^(-2/3). pi

Ac/Aq = 2^(-2/3). pi^(-2/3 + 1)

Ac/Aq = 2^(-2/3). pi^((-2 +3)/3)

Ac/Aq = 2^(-2/3). pi^(1/3)

Ac/Aq = pi^(1/3) / 2^(2/3)

Ac/Aq = pi^(1/3) / (2^2)^(1/3)

Ac/Aq = pi^(1/3) / 4^(1/3)

Ac/Aq = raizcub(pi/4)

Blz?

Abs :)