Question

(UNIFOR-CE) As medidas dos ângulos internos de um
triângulo retângulo formam uma progressão aritmética.
A medida do menor desses ângulos é:

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo

Answer 2

Resposta:

A medida do menor desses ângulos é 30 º

Explicação passo-a-passo:

Pedido :

As medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética.

A medida do menor desses ângulos é :

Resolução

Vou resolver por dois métodos.  Escolha depois um deles.

1º método:

Quando numa progressão aritmética tenho 3 termos consecutivos posso os  representar por:

x           o menor deles

x + r      o do meio

x +  2r   o maior

em que “r “ é a razão da PA

Como são ângulos de um triângulo retângulo, o maior deles é o de 90º,  

logo x + 2r = 90

A soma interna dos ângulos de um triângulo é igual a 180º

Vou criar um sistema de duas equações a duas incógnitas.

x + ( x + r ) + ( x + 2r ) = 180

x + 2 r = 90

⇔  

Substituindo na 1ª equação ( x + 2r ) por 90 , fica assim

2x + r  + 90 =180

x + 2 r = 90

⇔  

Na 1ª equação passo 90 para 2º membro, trocando sinal

2x + r = 180 – 90

x + 2 r = 90

⇔  

2x + r  = 90

x + 2 r = 90

⇔  

Resolvendo o sistema, pelo método de comparação, e mantendo a 2ª equação

2x + r = x + 2r

x + 2 r = 90

⇔

Na 1ª equação, passando “ r ” para 2º membro ; também passando “ x ” para 1º membro,  trocando sinais

2x – x = 2r - r

x + 2 r = 90

Simplificando e substituindo o valor obtido de “ x “  da 1ª equação , na 2ª equação

⇔

x = r

r + 2 r = 90

⇔

x = r

3 r = 90

⇔

na 2ª equação, dividir tudo por 3

x = r

3 r / 3  = 90 / 3

⇔

x = r

r = 30

⇔

x = 30

r = 30

Já tenho a medida do menor ângulo que é 30º

2º método:

Há outro método de resolução que é “mais económico”, em termos de tempo de resolução.

Quando temos numa PA com três termos consecutivos pode representar-se assim :  

x – r     primeiro termo

x          termo do meio

x + r     último termo

Estes três termos da PA representam os três ângulos internos de um triângulo.    Cuja soma dá 180º

( x – r ) + x + ( x + r ) = 180

“ - r “ e “ + “ r “ cancelam-se. São elementos simétricos de uma adição.

⇔

3 x = 180

⇔

dividindo tudo por 3

x = 60

Encontramos o 2º termo da PA.

Conhecendo o maior dos ângulos ( 90 º )  e conhecendo outro ângulo

( 60º )   temos que :

x + 60 + 90 = 180

⇔ x = 180 -150  

⇔ x = 30º

O menor dos ângulos tem amplitude de 30º

Sinais : ( * ) multiplicar   ( / ) dividir  ( ⇔ ) equivalente a  

Espero ter ajudado bem.  

*****************************  

Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.