Sabendo que um triângulo retângulo os ângulos
agudos são A e B, a hipotenusa mede 5cm e sen
B = 2sen A, encontre as medidas dos catetos.
2. Dado um triângulo ABC onde c =v2, o ângulo
A = 60° e C= 45°. Calcule os lado a e b.
3. Calcular a altura de um poste visto sob um ângulo
de 60° por um observador com 1,80m de altura
que se encontra a 10m do poste.
4. Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz um
ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe essa rampa inteira.se eleva
verticalmente de quanto?
Respostas
Resposta:
1) Os catetos medem [AC] = 2 √5 [BC] = √5
2) a = √3 b = (√6 + √2 ) / 2
3) altura do poste = 15,5 m
4) Eleva-se 10 m
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
1) Sabendo que um triângulo retângulo os ângulos agudos são A e B, a hipotenusa mede 5 cm e sen B = 2 sen A, encontre as medidas dos catetos.
2) Dado um triângulo ABC onde c =v2, o ângulo A = 60° e C= 45°.
Calcule os lado "a" e "b".
3 ) Calcular a altura de um poste visto sob um ângulo de 60° por um observador com 1,80 m de altura que se encontra a 10 m do poste.
4. Uma rampa lisa de 20 m de comprimento faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira.se eleva verticalmente de quanto?
Resolução:
1)
Sabemos que os ângulos agudos são A e B , logo o triângulo é retângulo no vértice C.
Os catetos serão:
[AC] oposto a ângulo B
[BC] oposto a ângulo A
Construir um sistema com os dados que temos :
sen B = [AC] / 5
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
5^2 = [AC] ² + [BC] ²
1ª e 2ª equações multiplicar ambos os membros por 5 para cancelar
denominador 5
⇔
5*sen B = ( [AC] * 5) / 5
5 *sen A = ( [BC] * 5) / 5
sen B = 2 sen A
25 = [AC] ² + [BC] ²
⇔
substituir na 1ª equação sen B por 2 sen A
5*2 sen A = [AC]
5 *sen A = [BC]
sen B = 2 sen A
25 = [AC] ² + [BC] ²
Dividir os dois membros da 1ª equação por 10
Dividir os dois membros da 2ª equação por 5
⇔
(10*sen A) / 10 = [AC] /10
(5 *sen A)/5 = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
25 = [AC] ² + [BC] ²
⇔
senA = [AC] /10
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
25 = [AC] ² + [BC] ²
sen A = [AC] / 10 e sen A = [BC] / 5 então [AC] / 10 = [BC] / 5
Substituir a 1ª equação por esta agora encontrada
[AC] / 10 = [BC] / 5
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
25 = [AC] ² + [BC] ²
na 1ª equação fazer produto cruzado
⇔
5 * [AC] = 10 * [BC]
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
25 = [AC] ² + [BC] ²
na 1ª equação dividir ambos os membros por 5
⇔
(5 * [AC] ) / 5 = (10 * [BC] ) / 5
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
25 = [AC] ² + [BC] ²
⇔
Substituir o valor encontrado de [AC] , na 4ª equação
[AC] = 2 [BC]
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
25 = ( 2* [BC] ) ² + [BC] ²
resolver 4ª equação
⇔
[AC] = 2 [BC]
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
25 = 4* [BC] ² + [BC] ²
⇔
[AC] = 2 [BC]
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
25 = 5* [BC] ²
Na 4ª equação dividir tudo por 5
⇔
[AC] = 2 * [BC]
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
5 = [BC] ²
⇔
[AC] = 2 * [BC]
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
+ √5 = [BC] ∨ - √5 = [BC] ( descartar a solução negativa)
Substituir o valor encontrado de [BC] , na 1ª equação
[AC] = 2 √5
sen A = [BC] / 5
sen B = 2 sen A
[BC] = √5
Dimensões dos catetos:
[AC] = 2 √5
[BC] = √5
2.
Cálculo de lado “a”
Usando a lei dos senos
sen 45 º / √2 = sen 60 º / a
⇔
( √2 / 2 ) / ( √2 / 1 ) = ( √3 / 2 ) / ( a / 1 )
⇔
√2 / (2 √2) = √3 / 2a
⇔
no primeiro membro o √2 cancela-se
½ = √3 / 2a
Produto cruzado
2a= 2 √3
dividindo tudo por 2, cancela o 2 nos dois membros da equação
a = √3
Cálculo de lado “b”
Ângulo B = 180 – 45 – 60 = 75 º
Usando a Lei dos Senos
sen 45 º / √2 = sen 75º / b
Cálculo Auxiliar:
Para calcular sen 75º vou aplicar a fórmula do seno da soma de dois ângulos.
Escolho 45º e 30º porque , além de sua soma dar 75º, os valores exatos de funções trigonométricas destes dois ângulos são conhecidas.
sen(a + b) = sen a * cos b + sen b * cos a
sen75° = sen (45° + 30°) = sen 45° * cos 30° + sen 30° * cos 45°
⇔
sen75° =√2 / 2 * √3/ 2 + ½ * √2 / 2
⇔
sen75° = √(2 * 3) / 4 + √2 / 4
⇔
sen75° = ( √6 + √2 ) / 4
Continuando a resolução:
sen 45 º / √2 = sen 75º / b
⇔
( √2 / 2 ) / ( √2 / 1 ) = ( (√6 + √2 ) / 4 ) / ( b / 1 )
⇔
( √2 / 2 ) * ( 1 / √2 ) = ( (√6 + √2 ) / 4 ) * ( 1 / b )
⇔
√2 * ( 2 / √2 ) = ( (√6 + √2 ) / 4 ) * ( 1 / b )
No primeiro membro cancela-se √2
½ = (√6 + √2 ) / 4 b
produto cruzado
1 * 4b = 2 * (√6 + √2 )
⇔
dividindo tudo por 4
4b / 4 = (2 * (√6 + √2 )) / 4
⇔
b = (√6 + √2 ) / 2
3.
Usando as funções trigonométricas num triângulo retângulo
X = altura do poste ( cateto oposto)
distância do observador ao poste 10 m ( cateto adjacente)
α = 60 º
tg α = cat oposto / cat adjacente
tg 60º = x / 10
⇔
\/3 = x / 10
⇔
Multiplicando tudo por 10
10 * \/3 = 10 * (x / 10)
⇔
x = 10 * \/3
⇔
x ≈ 10 * 1,73
⇔
x ≈ 17,3 m (altura do poste)
Mas à altura do poste tem que se retirar a altura do homem.
17,3 - 1,8 ≈ 15,5 m altura do poste
4.
Temos um triângulo retângulo onde sabemos o valor da hipotenusa (rampa de 20 m ) e queremos saber o valor do cateto oposto ao ângulo ( altura = que é o que se vai elevar). Com isso, podemos usar a função trigonométrica seno:
sen 30 º = cateto oposto / hipotenusa
sen 30 º = altura / 20
1 / 2 = altura / 20
produto cruzado
20 = 2 * altura ⇔ altura = 20/2 ⇔ altura = 10m
Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e um bom dia para si.