Question

Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao dobro da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão para produzir caixas de volume de 72 cm3 é igual a (comprimento x largura x altura)

a: 12cm, 6cm, 0,75cm
b: 3cm, 4cm, 6 cm
c: 6cm, 4cm, 3cm
d: 6cm, 3cm, 4cm
e: 3cm, 8cm, 3cm

Answer 1

x: comprimento

y:largura

h: altura

72 =x*y*h

x=2y

72=2y*y*h ==>36=y²*h  ==>h=36/y²

Área total=S=2*(x*y+x*h+y*h)

S=2*(2y *y +2y*36/y²+y*36/y²)

S=2*(2y²+108/y)

dS/dy =4y-108/y² =0

4y³=108

y³=27 ==> y=3

x=2y=6

h=36/y²=36/9=4

6 , 3 e 4  cm      é a resposta

Letra D

Answer 2

V = a. b. c

V= volume

a = comprimento = 2b (dobro da largura)

b = largura

c = altura

72 cm³ = 2b. b . c

72 = 2b² . c

c = $\frac{72}{2b^2}$

c = $\frac{36}{b^2}$

Área do paralelepípedo:

St = 2 (ab + bc + ac)

St = 2 $(\frac{2b.b}{1}+\frac{b.36}{b^2} +\frac{2b.36}{b^2})$

St = $2(\frac{2b^2}{1}+\frac{36b}{b^2}+\frac{72b}{b^2})$

St = $2(\frac{2b^2}{1}+\frac{108b}{b^2})$

Derivando $(\frac{2b^2}{1}+\frac{108}{b^2})$ e igualando a zero:

$\frac{d}{db}(2b^2) = 4b$

$\frac{d}{db}(\frac{108}{b^2}) = - \frac{108}{b^2}$

$4b - \frac{108}{b^2} = 0$

4b³ - 108 = 0

4b³ = 108

b³ = 108 : 4

b³ = 27

b = $\sqrt[3]{27}$

b = 3 cm (largura)

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a= 2b

a = 2. 3

a = 6 cm (comprimento)

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c = $\frac{36}{b^2}$

c = $\frac{36}{3^2}$

c = $\frac{36}{9}$

c = 4 cm (altura)

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medidas:

comprimento (6 cm), largura (3 cm)  e altura (4 cm)

Alternativa D